Analiza și sinteza dispozitivelor numerice

I. ELEMENTE DE ALGEBRA BOOLEANA

In teoria circuitelor numerice si in electronica digitala in general, semnalele electrice pot lua numai

valori discrete, in majoritatea cazurilor aceste valori fiind asociate conventional lui ‘0’ logic si ‘1’ logic. In

limbaj tehnic ne vom referi la aceste doua valori cu notiunea de “bit” ( Binari Digit ).

Definitia bitului:

Bitul este o unitate de masura a informatiei, echivalenta cu informatia transmisa prin furnizarea

unui mesaj din cele doua probabile. Pentru studiul circuitelor numerice (digitale) se foloseste ca suport

matematic algebra booleana.

1.1 Axiome si teoreme:

Algebra booleana opereaza pe o multime B = { x / x{0, 1}}. In aceasta multime binara se definesc

trei legi de compozitie: complementarea, disjunctia ( suma logica, SAU, OR ) si conjunctia ( produs logic,

sI, AND ), pentru care se dau in continuare tabelele de adevar, simbolurile grafice si implementerea prin

contacte:

Toate relatiile definite pe B au un caracter dual, adica relatiile raman valabile daca se fac

schimbarile: + cu * si respectiv 0 cu 1.

In multimea B se poate alege o structura de 6 axiome duale:

1. Multimea B este o multime inchisa: X,Y  B X+YB; X,Y  B XYB ;

2. Asociativitatea: X+(Y+Z) = (X+Y)+Z ; X(YZ) = (XY)Z ;

3. Comutativitatea: X+Y = Y+X ; XY = YX

4. Distributivitatea: X+YZ = (X+Y)(X+Z) ; X(Y+Z) = XY+XZ

5. Element neutru: X+0 = 0+X = X ; X1 = 1X = X

6. Complementul: X +X =1; X X = 0

Teoreme ( proprietati ):

7. Idempotenta: X+X+…..+X = X ; XX…..X = X ;

8. Elemente neutre: X+1 = 1 ; X’0 = 0 ;

9. Involutia: X = X , X = X

10. Absortia: X+XY = X ; X(X+Y) = X ;

11. Relatiile lui De Morgan: X +Y =XY , XY =X +Y

Pe multimea B sunt valabile teoremele enuntate. Demonstratia lor se poate face folosind axiomele,

dar este mai comoda daca se folosesc tabelele de adevar. Tabela de adevar stabileste o

corespondenta intre valorile de adevar ale variabilelor si valoarea de adevar a functiei.

Ex: De Morgan:

Perechile de operatori NOT si AND, respectiv NOT si OR formeaza fiecare cate un sistem complet,

adica orice relatie definita pe B poate fi exprimata folosind numai opeatorii unei singure perechi. Circuitul

fizic care implementeaza un operator logic se numeste poarta logica. Sistemele complete prezentate au

fost realizate cu cate o singura poarta: SI-NU (NAND) si SAU-NU ( NOR ). Un sistem complet de

operatori poate exprima orice relatie logica ca in exemplul urmator, in care ne propunem sa exprimam

operatorii NOT, OR si AND folosind operatori NAND si NOR.

1.2 Functii logice

O functie f: Bn ’ B se numeste functie booleana. Altfel spus, o functie booleana de n variabile y =

f(x1,x2,..xn), unde xi variabile de intrare, se caracterizeaza prin faptul ca atat functia cat si variabilele nu

pot lua decat doua valorile distincte:0 si 1.

Ex: Consideram trei robinete x,y si z. Ne propunem sa mentinem un rezervor plin cu ajutorul

acestor trei robinete. Rezervorul poate fi mentinut plin daca cel putin doua robinete sunt deschise. Daca

consideram ca un robinet are atribuita valoarea logica 1, atunci functia care descrie din punct de vedere

logic aceasta situatie este urmatoarea:

1.3 Reprezentarea functiilor logice:

Pentru reprezentarea functiior logice se folosesc in mod curent si in principal trei metode:

1. Reprezentare prin tabela de adevar:

Aceasta reprezentare presupune marcarea: intr-un a corespondentei dintre valorile de adevar ale

variabilelor de intrare si valoarea de adevar a functiei in fiecare punct al domeniului de definitie.