TTI - Cursul 1

1. Semnale aleatoare discrete în timp

1.1. Introducere. Recapitularea teoriei probabilitatilor

Teoria probabilitatilor joaca un rol important în anumite zone ale prelucrarii semnalelor aleatoare, cum ar fi analiza spectrala, detectia si estimarea, cu importante aplicatii în practica inginereasca. Conceptele din teoria probabilitatilor vor fi extinse la semnalele care variaza în mod aleator în timp.

- Exemple:

1. Tensiunea într-un receptor radar indusa de energia reflectata de un avion.

2. Tensiunea de zgomot în sistemele de comunicatii.

3. Forma de unda a vocii unei persoane pronuntând cuvântul ,,sase”.  

Un model aleator afirma ca exista un numar foarte mare de valori posibile sau de realizari particulare ale semnalului (tensiunii). Se poate spune ca valorile observate sunt mai posibile într-o anumita gama de valori, de exemplu 7 ± 0,1 V decât în alte game. Se poate vorbi, de asemenea, despre valorile medii observate în mai multe repetari independente ale experimentului de masurare. Aceste marimi fizic masurabile se exprima cantitativ în termenii unor functii de distributie (densitate de probabilitate sau de repartitie) si ai unor valori medii din teoria probabilitatii. Semnalele aleatoare pot fi descrise si în domeniul frecventa, legând valorile medii de la intrarea si iesirea unui filtru de functia lui de transfer. Un semnal aleator, cum este forma de unda a vorbirii, poate avea o realizare particulara de genul celei reprezentate în figura 1.

Fig. 1. Exemplu de realizare particulara a unui semnal aleator.

Se foloseste notatia x(t) pentru a reprezenta multimea realizarilor particulare posibile cu o lege de probabilitate pentru alegerea unei realizari particulare dintr-o anumita observatie.

Un semnal aleator discret în timp Xj, j = 1, 2, …, n are mai multe realizari particulare¬, dintre care¬¬¬¬ una anume este notata cu xj, j = 1, 2, …, n, ca în figura 2.

Fig. 2. Exemplu de realizare particulara a unui semnal aleator discret în timp.

La un anumit moment de timp, de exemplu j = 3, multimea realizarilor particulare defineste o variabila aleatoare x3. Astfel, un semnal aleator consta dintr-o multime de variabile aleatoare.

Notiunile de teoria probabilitatii si aplicatiile în procesarea semnalelor vor fi prezentate în cazul unei singure variabile aleatoare si apoi se va discuta teoria semnalelor aleatoare mai complexe.

Se defineste un eveniment punând conditii asupra unei variabile aleatoare x, de exemplu, x < 3. Evenimentul apare (se realizeaza) daca realizarea particulara observata a lui x este un numar care satisface conditia. Probabilitatea evenimentului P[x < 3] este, prin conventie, un numar între 0 si 1, numerele mai mari corespunzând unor evenimente mai probabile. Toate probabilitatile si valorile medii de interes pot fi calculate daca se cunosc probabilitatile unei multimi fundamentale de evenimente. Totalitatea acestor probabilitati formeaza functia de repartitie (de distributie) F(x), definita probabilistic astfel: