Extras din curs
OBIECTIVELE Unității de învățare Nr. 1
Principalele obiective ale Unității de învățare Nr. 1 sunt:
- Recapitularea noțiunilor de bază ale analizei matematice din liceu
- Însușirea aparatului de calcul din analiza matematică de liceu
Mulțimi
1.1 Mulțimi
Dacă elementul x se află printre elementele mulțimii A vom scrie x A și
citim x aparține mulțimii A. În caz contrar scriem x A și citim x nu
aparține mulțimii A. Notăm cu mulțimea vidă (fără nici un element).
Definiție
Dacă A, B sunt două mulțimi atunci:
1) A este inclusă în B și notăm A B x A- xB ;
2) A B A B și B A;
3) intersecția mulțimilor A și B este mulțimea
A B x | x A și x B- ;
4) reuniunea mulțimilor A și B este mulțimea
A B x | x A sau x B- .
Dacă X este o mulțime atunci mulțimea submulțimilor acestei mulțimi se
notează PX A | A X- , (mulțimea părților lui X).
Dacă - n X a , a ,..., a 1 2 este o mulțime finită atunci P(X) este o mulțime
cu 2n elemente, de aceea o altă notație pentru P(X) este 2X.
Exemplu
Dacă - 1 2 3 X a , a ,a , atunci
- , - , - , - , , - , , - , , - , , , - - . 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3 P X a a a a a a a a a a a a
Definiție
Dacă A1, A2 sunt două mulțimi se numește produsul cartezian al mulțimii
A1 cu mulțimea A2 mulțimea
- 1 2 1 2 1 1 2 2 A - A a ,a | a A ,a A .
Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
10
Exemplu
R2 R- R x, y| x, yR- ;
R3 R- R- R x, y, z| x, y, zR- ;
x x x x i n- n i
n ... , ,..., | , 1,..., 1 2 R R- R- R- - R R .
Dacă A și B sunt două mulțimi atunci mulțimea
A B x | x A și x B-
se numește diferența celor două mulțimi.
Dacă X și A X atunci complementara lui A în raport cu X este
mulțimea C A x x X X | și x A- .
Test de autoevaluare 1.1 - Scrieți răspunsul în spațiul liber din chenar.
Fie familia de mulțimi A P X X i i I , . Aratati ca următoarea
egalitate este adevărată:
i I
X i
i I
X i C A C A
-
Răspunsul la test se găsește la pagina .
Funcții
1.2 Funcții Definiție
Fiind date mulțimile nevide X și Y, se numește funcție definită pe X cu
valori în Y o relație binară f X - Y cu proprietățile:
1) x X , yY astfel încăt x, y f ;
2) Dacă 1 2 1 2 x, y f , x, y f - y y .
Dacă f este o funcție de la X la Y și x, y f atunci vom scrie y f x.
Elementul y se numește imaginea lui x prin funcția f sau valoarea lui f în
punctul x. X se mai numește și domeniul funcției f.
Remarcăm de asemenea că noțiunea de funcție presupune trei elemente:
1) X, domeniul de definiție al funcției;
2) Y, mulțimea de valori a funcției sau codomeniul;
3) relația care asociază oricărui element x X un unic element yY .
Precizăm că în locul termenului de funcție se mai folosesc și termenii de
aplicație, transformare, operator.
Dacă f : X - Y este o funcție și A X , mulțimea
f A f xY | x A-
Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
11
se numește imaginea lui A prin f , iar dacă B Y , mulțimea
f - 1 B x X | f x B-
se numește imaginea reciprocă sau preimaginea prin funcția f a mulțimii
B.
Definiție
Dacă f1, f2 sunt două funcții 1 1 1 f : X - Y și 2 2 2 f : X - Y , atunci spunem
că f1 și f2 sunt egale 1 2 f f dacă și numai dacă
1) 1 2 X X ;
2) 1 2 Y Y ;
3) x X f x f x 1 1 2 - .
Definiție
Fie f : X - Y o funcție. Spunem că:
1) f este injectivă dacă x x X 1 2 , , 1 2 1 2 x x - f x f x ;
2) f este surjectivă dacă yY , x X astfel încât f x y ;
3) f este bijectivă dacă f este injectivă și surjectivă;
4) f este inversabilă dacă g :Y - X astfel încât X g - f 1 și
Y f - g 1 ;
În loc de
rezumat
Am ajuns la sfârșitul Unității de învățare Nr. 1.
Vă recomand să faceți o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în
această unitate și să revizuiți obiectivele precizate la început.
Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învățare
Nr. 1 pe care urmează să o transmiteți tutorelui.
Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu
Elemente de analiza matematica si matematici speciale
12
Lucrare de verificare Unitate de învățare Nr. 1
Să se arate că:
i I
X i
i I
X i C A C A
-
Răspunsurile și comentariile la testele de autoevaluare
Răspuns 1.1
Să arătăm că avem
i I
X i
i I
X i C A C A
-
. Fie
i X i
i I
i
i I
X i A C x A x A x A C x - - -
-
,
I i
X i i I x C A
- . Invers, dacă X i
i I
X i x C A - xC A
,
i A x I i - ,
-
- -
i I
X i
i I
i i I x A x C A .
Bibliografie Unitate de învățare Nr. 1
1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si
matematici speciale”, Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004
2. Chirita S. - “Probleme de
Preview document
Conținut arhivă zip
- CSI EAMMS I_Prof EM _final.pdf
- CSI EAMMS II Prof EM_.pdf