Elemente de Teoria Elasticitatii

Problema generală a teoriei elasticităţii o reprezintă determinarea stării de tensiuni, deformaţii şi deplasări dintr-un corp elastic, atunci când se cunosc: forma şi dimensiunile acestuia, modul de încărcare şi rezemare, precum şi caracteristicile elastice ale materialului.

Ecuaţiile fundamentale ale Teoriei elasticităţii (care vor fi prezentate în cele ce urmează) sunt scrise pentru un element de volum infinitezimal şi sunt grupate astfel:

- ecuaţii de echilibru (Cauchy);

- ecuaţii geometrice (relaţii între deformaţii si deplasări);

- ecuaţii constitutive (legea lui Hooke).

În ecuaţiile din primele două grupe nu intervin caracteristici de material şi, în consecinţă, ele sunt universal valabile. În ecuaţiile constitutive intervin aceste caracteristici şi prin urmare acestea depind de natura materialului.

Modelul clasic al Teoriei elasticităţii şi Rezistenţei materialelor adecvat comportării oţelului şi altor materiale (în special metalice) are la bază următoarele ipoteze simplificatoare:

- continuitatea materiei;

- omogenitatea;

- elasticitatea perfecta şi izotropia materialelor;

- ipoteza deformaţiilor mici;

- proporţionalitatea dintre tensiuni şi deformaţii;

- principiul lui Saint Venant;

- ipoteza stării naturale.

Ipoteza lui Bernoulli este admisă numai în Rezistenţei materialelor.

Starea de tensiuni într-un punct al unui corp

Starea generală de tensiuni

Se consideră cazul general al unui corp solid solicitat de un sistem oarecare de sarcini. Într-un punct oarecare din interiorul corpului se poate duce un număr nedefinit de faţete orientate diferit. La fiecare din aceste faţete elementare corespunde un anumit vector-tensiune (figura 2.1). Ansamblul vectorilor tensiune care acţionează pe faţetele elementare ce trec prin punctul considerat caracterizează starea de tensiune din acest punct şi poartă denumirea de fascicolul tensiunilor. Ansamblul fascicolelor tensiunilor într-un volum poartă denumirea de câmp de tensiune. Câmpul de tensiune poate fi uniaxial, biaxial, triaxial.

Figura 2.1.

S-a definit în cursul de Rezistenţa materialelor tensiunea medie pe un element de arie (figura 2.2a) prin relaţia:

Considerând materia continuă se poate restrânge oricât de mult elementul de suprafaţă în jurul punctului M, trecerea la limită fiind permisă în aceste condiţii. Se obţine astfel valoarea tensiunii în punctul M:

Tensiunea fiind o mărime tensorială depinde atât de cât şi de orientarea elementului de suprafaţă dA.