Geometria diadei RRR - metoda geo-analitică

parametrii xB şi yB iar apoi unghiurile care poziţionează elementele diadei, 2 ϕ şi 3 ϕ

(vezi figura unu).

A

(xA,yA)

B(xB,yB) cu B la Nord

C(xC,yC)

ϕ2

ϕ3

2 3

l2

l3

Fig. 1. Geometria diadei-RRR.

B(xB,yB) cu B la Sud

Scriem ecuaţiile a două cercuri (1) şi (2) de raze l2 respectiv l3:

2

2

(x x )2 ( y y )2 l B A B A − + − = (1)

2

3

(x x )2 ( y y )2 l B C B C − + − = (2)

Scriem (1) în forma (3) şi (2) în forma (4), prin ridicarea la pătrat a

parantezelor:

2 2 2 0

2

2 + 2 + 2 + 2 − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = B A B A A B A B x x y y l x x y y (3)

2 2 2 0

3

2 + 2 + 2 + 2 − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = B C B C C B C B x x y y l x x y y (4)

Scădem (4) din (3) şi obţinem relaţia (5):

2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( 2 )

3

2

2

x x x y y y x2 x2 y 2 y 2 l l C A B C A B C A C A ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ + − + − + − (5)

Relaţia (5) o scriem sub forma (6):

2 ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) 2

3

2

2

2 2 2 2

C A

C A C A

B

C A

C A

B x x

x x y y l l

y

x x

y y

x

⋅ −

− + − + −

⋅ +

−

− −

= (6)

Acum, explicităm xB din relaţia (1) şi se obţine expresia (7):

2 2

2 ( ) B A B A x = x + l − y − y (7)

Cu (6) şi (7) se obţine relaţia (8) unde coeficienţii A şi B iau forma (9):

l y y A y B B A B 2 − − 2 = − ⋅ +

2 ( ) (8)

2 ( )

2 ( )

;

2

3

2

2

2 2 2 2

C A

C A C A A C A

C A

C A

x x

B x x y y l l x x x

x x

A y y

⋅ −

− + − + − − ⋅ ⋅ −

=

−

−

= (9)

Se ridică la pătrat expresia (8) şi rezultă formele (10) respectiv (11)