Aplicații ale polinoamelor

INTRODUCERE

Matematica zilelor noastre este un instrument de cultură generală, indispensabil în orice domeniu de activitate. Ea este necesară pentru înțelegerea celorlalte științe fundamentale ce se studiază în școală: fizică, chimie, biologie, etc. Acest adevăr indubitabil a fost enunțat de marele matematician Gr. C. Moisil, astfel: “Matematica este latina secolului al XX-lea.”

Prezenta lucrare intitulată “Aplicații ale polinoamelor” pornește de la ideea că studiul polinoamelor algebrice ocupă un loc de seamă în programa școlară și universitară atât datorită importanței lor pe plan teoretic cât și a multiplelor și variatelor lor aplicații.

Lucrarea este compusă din trei capitole.

Primul capitol intitulat “Inele de polinoame”, își propune o prezentare sistematizată a unor noțiuni de polinom și anume construcția polinoamelor de o nedeterminată sau mai multe nedeterminate. Am indicat aplicații ale polinoamelor legate de metoda descompunerii în fracții simple, o metodă indispensabilă în analiza matematică, în calculul integralelor din fracții raționale, al derivatelor de ordin superior al funcțiilor raționale, precum și în calculul operațional (calculul transformatelor Laplace inverse).

Capitolul al II-lea, “Polinoame speciale” conține noțiuni teoretice referitoare la câteva familii de polinoame speciale, polinoamele Legendre, Laguerre, Cebîșev și Jacobi indicând și unele aplicații ale acestora în analiza matematică și în teoria ecuațiilor diferențiale și a ecuațiilor cu derivate parțiale.

În cel de-al treilea capitol, după cum ne indică și titlul “Aplicații ale polinoamelor”, am prezentat unele probleme rezolvate pe baza teoriei prezentate în primele două capitole.

CAPITOLUL I Inele de polinoame

În acest capitol vor fi presupuse comutative și unitare. Morfismele de inele vor fi unitare iar subinelele conțin elementul unitate al inelului.

1. Polinoame de o nedeterminată

Noțiunea de polinom este una dintre noțiunile fundamentale ale algebrei. Originea acestei noțiuni se găsește într-o problemă foarte veche de matematică și aceea de a elabora un formalism general al calculelor algebrice care se efectuează de obicei cu sume și produse în care intervin un număr finit de numere. Această problemă constituie de altfel chiar începutul studiului algebrei în gimnaziu, când se consideră expresii de tipul

etc.,

în care se spune despre x și y că sunt numere arbitrare (neprecizate). Dezvoltând regulile de calcul cu asemenea expresii, algebra elementară are la bază anumite convenții care nu pot fi explicate decât definind în mod riguros cadrul în care se efectuează calculele și punând în evidență legătura sa cu corpurile de numere sau cu alte corpuri sau inele abstracte. Acest cadru îl constituie teoria inelelor de polinoame. Ca și alte noțiuni matematice, noțiunea de polinom nu poate fi definită în mod intrinsec. De aceea, vom defini, plecând de la un inel A, inelul polinoamelor cu coeficienți în A. În acest fel, un polinom va fi un element al inelului astfel construit iar proprietățile algebrice ale inelului polinoamelor se vor deduce atât din construcția pe care o facem cât și din proprietățile inelului A.

Vom începe cu o problemă simplă de algebră, strâns legată de aceea a calculului algebric. Fie A un inel și o familie de subinele în A (adică și dacă și ). Se știe atunci că este un subinel al lui A. Dacă este un subinel și este o submulțime considerăm familia nevidă de subinele

subinel în A}.

Atunci este de asemenea un subinel pe care-l vom nota

În mod evident și M . În plus, din construcția lui C[M] se deduce că C[M] este cel mai mic subinel al lui A care conține pe C și M în sensul că orice subinel cu proprietățile are proprietatea .