Metode Numerice

Lucrarea 2

REZOLVAREA NUMERICA A ECUATIILOR ALGEBRICE

1. SCOPUL LUCRARII

Prezentarea unor metode de rezolvare a ecuatiilor algebrice, si implementarea acestora în limbaje de nivel înalt (în particular, C).

2. PREZENTARE TEORETICA

Calculul radacinilor unei ecuatii se face în doua etape:

a) Separarea radacinilor.

b) Calculul lor cu o eroare impusa.

2.1. SEPARAREA RADACINILOR

Consideram functia R, si ecuatia algebrica

(2.1)Separarea radacinilor unei ecuatii consta în determinarea unor intervale în domeniul de definitie al functiei, în care sa existe o singura radacina reala. Pentru separarea radacinilor reale exista mai multe metode dintre care amintim: metoda sirului lui Rolle, metoda sirului lui Sturm si metoda lui Budan- Fourier.

2.1.1. METODA SIRULUI LUI STURM

Consideram functia definita pe R, care îndeplineste conditiile de continuitate si derivabilitate pentru .

Definitia 2.1

Sirul de functii f0,f1, f2......fm continue pe care satisfac conditiile:

a) f0(x) =f(x);

b) fm(x) `0 pentru ;

c) daca fi(x) =0, 1didm-1 si , atunci fi-1(x)*fi+1(x)<0;

d) daca f0(x)=0 pentru , atunci f’0(x)*f1(x)>0

se numeste sirul lui Sturm asociat functiei f(x).

Numarul radacinilor ecuatiei f(x) în intervalul este dat de urmatoarea teorema:

Teorema 2.1

Fie sirul lui Sturm f0,f1, f2......fm , atasat functiei f(x) cu conditiile f(a) `0 si f(b) `0, atunci numarul de radacini ale ecuatiei f(x)=0 în intervalul este dat de diferenta numarului de variatii de semn ale sirurilor:

f0(a),f1(a), f2(a)......fm(a)

f0(b),f1(b), f2(b)......fm(b)

În cazul functiei polinom P(x) care este definita pe R, Teorema 2.1 devine:

Teorema 2.2

Fie P0, P1, P2,......Pm un sir de polinoame construit astfel P0=P, P1=P’, iar Pi+1 este restul împartirii lui Pi-1 la Pi luat cu semn schimbat, pentru 2didm. Atunci numarul de radacini ale ecuatiei P(x)=0 este egal cu diferenta dintre numarul de schimbari de semn ale sirurilor:

P0(-), P1(-), P2(-),......Pm(-)

P0(), P1(), P2(),......Pm()

2.1.1.1. Algoritmul 2.1. Sirul lui Sturm

{// Variabile

(

întreg grad, // gradul polinomului

real P1[], // vectorul coeficientilor polinomului

real P2[], // vectorul coeficientilor derivatei

//polinomului;

real Rez[], // vectorul coeficientilor restului

real C1, // pentru calculul coeficientilor restului

real C2

// coeficientii pentru calculul coeficientilor restului

)

{

pentru i=grad-1 pana la 0 calculeaza P2[i]=(i+1)P1[i+1];

daca grad=0 Rez(0)=P1(0)-P1(1) ; // Restul are gradul grad-2

altfel