Studierea z-transformării directe și factorială - determinarea regiunii de convergență

Scopul lucrării: Studierea Z-Transformării directe şi factorială. Determinarea

Regiunii de Convergenţă

Noţiuni teoretice.

Z-transformarea directă

Z-transformarea directă a semnalului x(n) este definită ca o serie de putere:

(1)

unde z este o variabilă complexă. Relaţia (1) este numită Z-transformarea directă deoarece transformă semnalul din domeniul de timp x(n) în reprezentarea lui pe planul complex X(z). Procedura obţinerii semnalului x(n) din X(z) se numeăte Z-transformarea inversă..

Deseori Z-transformarea semnalului x(n) se notează:

(2)

sau relaţia dintre x(n) şi X(Z) este indicată:

(3)

Z-transformarea este o serie de putere infinită. Regiunea de convergenţă (ROC) a X(z) este un set de valori a valorii z pentru care X(z) ia valori finite.

Din punct de vedere matematic Z-transformarea semnalului x(n) este o reprezentare alternativă compactă a semnalului.

Fie variabila complexă z în formă polară este exprimată :

(4)

unde r= şi z. Atunci X(z) poate fi exprimată:

(5)

z=rej = r-ne-j n

În ROC a X(z), < . Însă

(6)

Deci |X(z)| este finită dacă secvenţa x(n)r-n este absolut sumabilă.

Problema găsirii ROC pentru X(z) este echivalentă cu deterninarea valorilor r pentru care secvenţa x(n)r-n este absolut sumabilă. Să ecsprimăm (6) prin:

(7)

Dacă x(z) este convergent pe o regiune a planului complex, ambele sume din (7) trebuie să fie finite.În prima sumă din (7) treuie să ecziste un aşa r valorila mai mici decât care satisfac condiţia ca secvenţa x(-n)r-n , , să fie absolut sumabilă. Deci ROC a primei sume constă din toate punctele din interiorul unui cerc cu raza r1, unde r1< , cun este ilustrat în Fig. 4.1a.

Fig. 1

Pe de altă parte, pentru suma a doua din (7) treuie să ecziste un aşa r valorile mai mari decât care satisfac condiţia ca secvenţa x(n)/rn, , să fie absolut sumabilă. Deci ROC a sumei a doua constă din toate punctele din exteriorul unui cerc cu raza r2, cun este ilustrat în Fig. 2.

Fig. 2

Deci convergenţa X(z) necesită ca ambele sume din(7) să fie finite, sau ROC pentru X(z) este regiune a z-planului, r2 < r < r1, care este o regiune comună unde ambele sume să fie finite.

Această regiune este ilustrată în Fig. 3.