Teorema Krull - Schmidt - Remak - Azumaya

I. Notiuni preliminare

Acest prim capitol isi propune sa reaminteasca o serie de notiuni fundamentale care vor fi folosite in mod curent pe parcursul lucrarii.

§1. Numere cardinale

Spunem ca doua multimi A si B sunt cardinal echivalente daca exista o bijectie de la A la B. Aceasta relatie este de echivalenta in clasa tuturor multimilor. Clasele de echivalenta se numesc numere cardinale. Clasa lui A se noteaza cu Card A sau cardinal echivalenta cu A}.

Vom scrie Card A Card B daca A este cardinal echivalenta cu o submultime a lui B. Relatia este independenta de alegerea reprezentantilor A si B si se verifica faptul ca este o relatie de ordine in clasa tuturor numerelor cardinale.

Daca se noteaza Card = (alef zero).

Orice multime cardinal echivalenta cu se numeste numarabila. Se noteaza Card =0 si Card ({1,2, ,n}) = n.

Daca Card A< multimea A se zice ca e finita. In caz contrar, multimea se spune ca este infinita (adica Card A). Daca A este infinita, atunci cardinalul, Card A, se zice ca este infinit , iar daca A este finita, atunci Card A se zice ca este finit. Daca este o familie de numere cardinale cu , atunci se definesc operatiie aritmetice:

, unde

Este bine stiut ca operatiile definite nu depind de alegerea reprezentantilor. Daca , scriem si

§ 2.Module

2.1. Definitie. Fie R un inel. Un R-modul stang este un grup abelian M (a carui operatie este notata aditiv) impreuna cu o aplicatie de la in M astfel incat:

pentru orice si

Un R-modul drept este un grup abelian N (operatia notata aditiv) impreuna cu o aplicatie de la astfel incat:

pentru orice si

Daca M este un R-modul stang (sau drept), elementele din R se vor numi scalari, iar aplicatia (respectiv ) se va numi inmultirea cu scalari.

Observam ca daca avem un inel R si , inelul opus asociat lui R. Daca M este R-modul stang, atunci aplicatia de la defineste pe M o structura de - modul drept. Acest modul se numeste opusul modulului M si se noteaza cu Analog, daca M este un R-modul drept, atunci aplicatia de la defineste pe M o structura de - modul stang numit de asemenea opusul modulului M si se noteaza cu