Paradoxuri logico-matematice

1. Paradoxul lui Burali-Forti.

Matematicianul italian Burali-Forti a publicat în anul 1897 o antinomie pe care a întîlnit-o în teoria mulțimilor. Burali-Forti a expus acest paradox utilizînd mijloace formale, în speță, aparatul logicii simbolice, așa cum ea fusese constituită de Peano și școala italiană.

Acest paradox se poate formula în felul următor: se demonstrează în teoria mulțimilor că:

1) orice serie de nu­ mere ordinale definește un număr ordinal ;

2) acest număr ordinal este mai mare cu o unitate decît cel mai mare număr ordinal al seriei date ;

3) seria ordinalelor (în ordinea mărimii lor) este bine ordonată.

2. Parodoxul lui Cantor

O contradicție asemănătoare referitoare la cel mai mare număr cardinal a fost descoperită de Cantor in 1899, dar nu a fost publicată decit în 1926 de Zermelo. Fie M mulțimea tuturor mulțimilor și Nc, numărul său cardinal : Nc este cel mai mare număr cardinal posibil. Pe de altă parte, o teoremă binecunoscută a teoriei mulțimilor spune: numărul cardinal al mulțimii tuturor submulțimilor lui M este mai mare decit numărul cardinal Nc al mulțimii M. Contradicția este evidentă: numărul ,cardinal Nc al mulțimii M a tuturor mulțimilor este cel mai mare număr posibil, dar el nu este cel mai mare, pentru că numărul cardinal al mulțimii tuturor submulțimilor lui M este mai mare ca Nc .

3. Paradoxul lui Russell

Paradoxul lui Russell sau paradoxul mulțimii tuturor mulțimilor este un paradox logic și se referă în special la teoria mulțimilor, la existența unei mulțimi a tuturor mulțimilor. Formularea sa, de către Bertrand Russell în 1902, a marcat la un moment de criză în lumea matematicii și a logicii. Depășirea acestui moment a condus la revizuiri, dezvoltări și chiar la apariția a noi teorii științifice.

Paradoxul lui Russell, varianta cu predicate, 1905

Orice predicat își aplică propria lui proprietate, sau îi este aplicată din exterior. Dacă un predicat își aplică propria lui proprietate, vom spune că el are proprietatea predicabil; în caz contrar, vom spune că el este impredicabil. Însă predicabil și impredicabil sunt la rândul lor predicate, astfel că putem face același raționament și despre ele. În particular, impredicabil este sau predicabil, sau impredicabil.

Dacă impredicabil este predicabil, atunci el își aplică propria lui proprietate, deci este impredicabil. Dacă impredicabil este impredicabil, atunci își aplică propria lui proprietate și, deci, este predicabil. În fapt este un semiparadox deoarece dacă se ia formal în considerare o proprietate, ea nu poate fi decât predicabilă, noțiunile în sine fiind în exclusivitate o abstractizare a minții umane.

Paradoxul bărbierului

În 1919, Russell a formulat o versiune simplă și amuzantă a paradoxului său:

Figaro, bărbierul satului, încheie un contract cu primăria conform căruia el trebuie să servească numai pe acei care nu se bărbieresc singuri. Se pune problema: Cine îl bărbierește pe Figaro?

Avem posibilitățile:

Dacă Figaro se bărbierește singur, atunci conform convenției, nu îl mai bărbierește pe Figaro. Contradicție!

Dacă Figaro nu se bărbierește singur, atunci conform înțelegerii, îl bărbierește pe Figaro. Din nou, contradicție!

Paradoxul poștașului

Într-un sat, poștașul aduce corespondența numai sătenilor care nu pot veni la oficiul poștal să-și ridice corespondența. Poate poștașul să-și ridice singur scrisorile?

Aceasta este de fapt o variantă a paradoxului bărbierului.

Paradoxul cataloagelor

Biblioteca Națională solicită tuturor bibliotecilor din țară să întocmească cataloage cu lista tuturor publicațiilor găzduite de fiecare. Unele biblioteci includ în acea listă și titlul catalogului.

Responsabilul de resort din cadrul Bibliotecii Naționale întocmește la rându-i două astfel de cataloage: unul cu cataloagele care se conțin ca titlu și altul cu cele care nu se conțin. Se pune problema: în care din acestea două poate fi inserat titlurile celor două cataloage ale cataloagelor?

Paradoxul colecționarului

O persoană vrea să întocmească o colecție de lucruri (obiecte) care nu fac parte din nicio colecție. Să o notăm cu C

Când colecționarul studiază ce fel de lucruri I trebuie să conțină această colecție, are de analizat cazurile:

- I aparține lui C - atunci nu trebuie să figureze în nicio colecție conform definiției, deci nici în colecția ;

- I nu aparține lui C - atunci, conform definiției, trebuie să se afle într-o colecție, deci nu mai avem contradicție. În acest caz, avem de-a face cu un semi-paradox.