Reglarea unui sistem simplu inerțial cu ajutorul unui controler PID

Un proces este descris de urmatoarea functie de sistem:

, unde = 5 si = 0.001 (un element simplu inertial rapid)

Dorim sa realizam cu acest proces un sistem de urmarire reglat automat. Avem la dispozitie un controler PID paralel care se satureaza la comenzi mai mari de 10 si un traductor proportional unitar. Ca obiective avem:

1) anularea erorii stationare la pozitie

2) asigurarea unui timp de raspuns mai bun de 10 ms (pentru o abatere maxima de la valoarea de regim stationar de 2% )

3) asigurarea unui suprareglaj mai mic de 5%

4) atingerea domeniului de stabilizare din maxim 3 semioscilatii

Pentru inceput vom evita folosirea componentei derivative, intrucat beneficiile aduse de aceasta sunt mult limitate de efectele negative ale ei. Vom analiza un algoritm de reglare P, unul I si vom incerca sa deducem o combinatie PI optima.

In Simulink, un controler PID are expresiile:

- in varianta cu filtru (“PID with approximate derivative”)

Mai jos se reprezinta bucla de reglare modelata in Simulink, urmand ca sa se determine parametri optimi ai controlerului. La simulare se utilizeaza metoda de integrare ode45 cu pas variabil(max step size = 1e-6; relative tolerance = 1e-6). Treapta se aplica la momentul t=1e-4 secunde.

(P)

Se observa ca bucla de reglaj este echivalenta cu un sistem simplu inertial, deci nu apar supracresteri. Din cauza ca nu avem cel putin un element integral pe calea directa, eroarea stationara la pozitie nu se anuleaza.

Crescand factorul de proportionalitate P suficient de mult am putea face aceasta eroare nesesizabila.

P [%]

tc[us] tr[us] Obs

1 16.67 366 752

5 3.85 84 251

10 1.96 43 177

20 0.99 24 142 comanda saturata

50 0.40 16.86 125.25 comanda saturata

80 0.25 16.22 122.23 comanda saturata

100 0.2 16.13 121.38 comanda saturata

200 0.1 16.15 120.12 comanda saturata

500 0.04 16.16 119.79 comanda saturata

Este de remarcat promtitudinea cu care raspunde un controler proportional. De asemenea, comanda de la iesirea acestuia este exact cat valoarea P.

Daca controlerul nostru nu s-ar satura, singura imbunatatire ar fi scaderea cu un ordin de marime a timpului de crestere.

(I)

Avem un sistem in bucla inchisa de ordinul 2. Din a 2-a expresie a lui putem extrage parametrii acestuia:

(pulsatia naturala a sistemului neamortizat)

(factorul de amortizare)