Analiza cu elemente finite a distribuției temperaturii într-un conductor electric cu fluxul termic volumetric variabil

DESCRIERE TEORETICĂ

Se consideră un conductor electric cu lungime de 20 m străbătut de un curent I constant în timp (Figura 1). Se propune o problema pentru analiza cu 15 elemente finite a distributiei temperaturii conductorului. O parte din energia electrică transmisă de-a lungul conductorului se trensformă prin efect Joule-Lenz în căldură, ridicând temperatura conductorului deasupra celei a mediului ambiant. Ipotezele problemei sunt următoarele:

acţiunea termică a curentului electric poate fi descrisă prin termenul sursă q0;

conductorul este perfect izolat, astfel încât fluxul termic spre mediul ambiant este nul. Figura 1. Conductor izolat, străbătut de curentul electric I, discretizat in 15 elente finite liniare

PREZENTARE TEORETICĂ A METODEI DE REZOLVARE

Cunoscând coeficientul de conductivitate termică λ a materialului, se pune problema analizării distribuţiei temperaturii T de-a lungul conductorului electric, unde:

T : R → R, T(x) fiind temperatura în punctul de abscisă x.

Distribuţia temparaturii T verifică ecuaţia diferenţială:

(1)

si conditiile limita:

T(x) = Tadacăx  a

T(x) = Tbdacăx = b ,

unde:

T este funcţia de temperatură;

λ este coeficientul de conductivitate termică;

este fluxul termic volumetric al surselor de căldură.

Problema poate fi formulată în mod echivalent aplicând calculul variaţional.

Astfel, trebuie să se găsească funcţia T care minimalizează funcţionala (2)

Modelul global al distribuţiei de temperatur ă de-a lungul conductorului electric

se obţine în mod generativ pornind de la modelul elemental

Considerăm un element finit oarecare e, definit prin lungimea sa

şi prin vectorul valorilor nodale de temperatură

(3)

Alegând de la început o variaţie liniară între si , rezultă că funcţia de interpolare a temperaturii pe acest element este:

(4)

unde coeficienţii α1 si α2 se determin ă în funcţie de valorile nodale ale temperaturii

(5)

in forma

(6)

Înlocuind relaţia (6) în (4) şi rearanjând termenii, se obţine funcţia

(7)

Unde si sunt valorile câmpului termic în nodurile i şi j ale elementului finit considerat.

Funcţiile de interpolare (8)

se numesc şi funcţii de formă, deoarece ele depind de forma geometrică a elementelor finite. Funcţia definită prin (11) se scrie de obicei sub forma: (9)

Înlocuind (13) în (5), rezultă: (10)

Impunând condiţia de staţionare a funcţionalei în raport cu variabilele nodale si , se obţin egalităţile: (11)

Asamblând acum toate elementele finite din domeniul considerat, se obţine

modelul global: (12)

unde matricea de rigiditate k conţine coeficientul de conductivitate termică λ, iar termenul liber F conţine fluxul termic volumetric q Vectorul temperaturilor nodale constituie în acest caz vectorul mărimilor necunoscute ale problemei.