Problemele de Control Optimal

Problemele de control optimal sunt acele probleme in care, dat fiind un sistem pentru care se ştie punctul de plecare, cel de sosire, restricţiile asupra comenzilor si ecuaţiile de dinamica ale stărilor, se determina traiectoria optima respectând un criteriu de performanta.

Schema unui sistem cu studiul căruia se ocupa cibernetica poate fi reprezentat prin următorul desen:

u y x

unde: - u reprezintă intrările sistemului

- y reprezintă ieşirile sistemului

- x reprezintă variabile de stare a sistemului (arata ce se întâmpla in interiorul sistemului).

Astfel, putem spune ca problema de control optimal consta in alegerea controlului optim pentru sistemul considerat.

Formularea problemei de control optimal pentru cazul discret

Unul din elementele de baza ale modelului matematic al problemei de control optimal este ecuaţia de dinamica a procesului, care poate fi reprezentata in timp discret sau in timp continuu, in forma unidimensionala (in cazul in care spaţiul stărilor x are dimensiunea 1) sau multidimensionala (xRn , n>2).

In continuare ne vom ocupa cu analiza modelului matematic al problemei de conducere optimala, cazul discret.

Astfel, ecuaţia de dinamica in cazul sistemului discret este:

xt+1= f(xt, ut, t), in care se considera x0 dat

si unde t {t0, t1, t2, t3 … tf } iar f (f1, f2, f3 … fn )T

in care reprezintă vectorii coloana ai variabilelor de stare xt prin care se descrie evoluţia procesului si respectiv vectorul variabilelor de decizie (variabile de intrare).

Este necesar sa definim noţiunea de strategie de conducere a sistemului ca fiind ansamblul de decizii luate in timp, pe orizontul [0, T] pentru conducerea sistemului in raport cu obiectivele fixate, sub conditionarile date de resursele disponibile in fiecare moment de timp. Notam aceasta cu

;

Ne propunem sa fundamentam aceste strategii in sens optimal. In consecinţa formulam următoarea problema de conducere optimala pentru cazul sistemelor dinamice discrete:

in care reprezintă funcţiile obiectiv intermediare

si reprezintă funcţia obiectiv finala (performanta pe care sistemul trebuie sa o atingă la momentul tf)

Trebuiesc luate in calcul posibilitatile apariţiei unor restricţii pe care traiectoriile de stare si comanda ar trebui sa le îndeplinească:

-restrictii de moment

-(restricţie de inegalitate)

-(restricţie de egalitate)

-restrictii globale

, (restricţie de inegalitate)

, (restricţie de egalitate)

Aceste restricţii se refera la evoluţia si strategiile de evoluţie care se stabilesc tinand cont de resursele disponibile, de cererea pietii, de capacitatile tehnico-economice, de normele legislative etc. Mulţimea restricţiilor momentane de tip inegalitate este J1, cele de tip egalitate sunt J2; disponibilul la fiecare moment de tip t este dj(t), iar consumul la fiecare moment de tip t este . In mod analog, mulţimea restricţiilor globale de tip inegalitate este J3, cele de tip egalitate sunt J4; disponibilul din resursele globale este Dj(t), consumul global este , iar componenta finala reflecta consumul din resursa j pentru atingerea obiectivului final .

Deci orice problema de conducere optimala, pentru orice proces, sistem micro sau macroeconomic, se formulează cu aceasta metodologie (fiind valabila atât in cazul continuu cat si in cazul discret).