Inferența statistică - distribuția test-student

1. Concepte de bază privind inferenţa statistică

Ori de câte ori dorim să observăm sau să investigăm un fenomen sau o variabilă, există două tipuri fundamentale de surse de date pe care ar trebui să le utilizăm. În primul rând, ar trebui să avem acces la întreaga populaţie (colectivitate definită în sens statistic). Înţelegem prin aceasta să avem acces la toate observaţiile posibile, trecute, prezente şi viitoare, cu privire la variabila de interes. De exemplu, dacă variabila noastră ar fi câştigurile din luna martie 2005 realizate de un muncitor din industria siderurgică şi am avea acces la un studiu complet referitor la aceste câştiguri, am putea să emitem ipoteze privind populaţia ce face obiectul observaţiilor referitoare la această variabilă.

Din păcate, nu avem acces la populaţie. Am avea nevoie de un studiu complet cu privire la câştigurile din industria siderurgică dar nici acesta nu există.

Eşantionul reprezintă cel de al doilea tip de surse de date de care am putea dispune. Pe baza unui eşantion, trebuie să deducem fapte în legătură cu populaţia din care s-a prelevat acesta. Procesul de extragere a datelor calculate pe baya eşationării la întreaga populaţie este cunoscut sub denumirea de inferenţă statistică.

Cu acelaşi tipic de inferenţă statistică: să presupunem că în 2004, câştigurile în industria siderurgică au fost complet monitorizate, astfel încât ştim că media acestora a fost de 600 RON Acum suntem în luna martie 2005 şi dorim să stabilim dacă media câştigurilor a crescut faţă de anul precedent. Nu avem acces la studiul pentru martie dar avem timp să intervievăm numai 100 de muncitori. Din calcule rezultă că acest eşantion de 100 de muncitori a înregistrat câştiguri medii lunare de 650 RON. Putem oare deduce, în baza dovezii dată de acest eşantion, că media câştigurilor lunare a crescut pentru întreaga industrie, în ansamblu ?

Este clar că dacă media câştigurilor eşantionului ar fi fost de 650 RON, am fi putut aprecia că s-a înregistrat o creştere a câştigurilor la nivelul acestei industrii. Dacă media eşantionului ar fi fost de numai 600 RON, am fi concluzionat că respectivele câştiguri nu au crescut. Dar am obţinut o medie a eşantionului de 650 RON Ce putem deduce de aici ? Problema deducţiei devine o problemă de a decide cu cât trebuie să depăşească media eşantionului media din anul precedent a industriei sau a populaţiei, înainte de a putea afirma că se înregistrează o creştere a câştigurilor.

În ansamblul tuturor problemelor legate de inferenţa statistică, una majoră este cea denumită variabilitatea eşantionării. Înţelegem prin aceasta că diferitele eşantioane vor conduce la rezultate diferite. De exemplu, dacă în martie 2005 am lua un al doilea eşantion de 100 de muncitori siderurgi, acesta ar putea înregistra o medie a câştigurilor diferită de cea a primului eşantion prelevat. De o manieră similară, un al treilea eşantion ar putea conduce la o altă valoare a câştigurilor medii. Este clar că există pericolul că răspunsul la care ajungem cu privire la câştigurile respectivei industrii va depinde foarte mult de eşantionul pe care lucrăm de fapt.

În realitate, cu condiţia de a preleva eşantionul de o anumită manieră, variabilitatea de selecţie urmează un model sistematic. Aceste eşantioane trebuie să fie aleatorii.

Despre un eşantion de mărimea n se spune că este aleatoriu, atunci când orice combinaţie de n unităţi ale unei populaţii are şanse egale de a intra în eşantionul care este prelevat.

Prelevarea unui eşantion aleatoriu este o problemă esenţială. De exemplu, prelevarea unui eşantion aleatoriu de 100 de muncitori din industria siderurgică implică, în primul rând, obţinerea unei liste complete a muncitorilor din respectiva industrie. Următorul pas constă în alocarea unui număr fiecărui muncitor de pe listă şi, apoi, stabilirea unui procedeu pentru a selecta 100 de numere din această listă. Vom ignora, totuşi, unele aspecte şi vom presupune că toate eşantioanele cu care lucrăm au fost extrase aleatoriu.

2.Distributia test – student

Până în prezent am introdus conceptele de inferenţă statistică aproape exclusiv în contextul mediei populaţiei. Totuşi, sunt frecvente ocaziile în care dorim să facem deducţii cu privire la alţi parametri ai populaţiei – un exemplu evident este variaţia dispersiei σ2. În plus, după cum vom vedea, inferenţa statistică are un rol important în analiza regresiilor. De asemenea, am limitat analiza la eşantioane mari. În ştiinţele economice trebuie să operăm frecvent cu eşantioane mai mici decât cele pe care le-am avut în vedere până acum.

Dacă Z1, Z2, Z3 Zn sunt toate variabile de distribuţiei normale standardizate distribuite independent, atunci despre mărimea

se spune că prezintă o distribuţie t cu n grade de libertate.

Se poate observa că în interiorul rădăcinii pătrate de la numitorul din (3.26) avem care reprezintă o variabilă χ2 împărţită la gradele sale de libertate. Prin urmare, o definiţie alternativă pentru t este ca aceasta reprezintă raportul dintre o variabilă de distribuţiei normale standardizate şi rădăcina pătrată a unei variabile independente χ2 care a fost împărţită la gradele sale de libertate. A se reţine faptil că distribuţia t îşi obţine gradele de libertate din distribuţia χ2 care apare la numitorul său.

Forma precisă a distribuţiei t depinde de n, de gradele sale de libertate. Poate fi demonstrat că pe măsură ce n → ∞ forma tinde spre cea a distribuţiei distribuţiei normale standardizate. De fapt, pentru scopuri practice, pentru n > 50, diferenţele dintre cele două distribuţii pot fi ignorate.