Extras din referat
În cele ce urmează, ne vom limita la o enumerare concisǎ a principalelor rezultate, necesare pentru abordarea problemelor aplicative .
Prin funcţie original, se înţelege o funcţie care satisface proprietăţile :
(i) f(t) = 0 , ;
(ii) f şi derivatele sale admit pe orice interval, mărginit, un număr finit de discontinuităţi de prima speţǎ .
(iii) existǎ constantele M 0, , astfel încât , .
Vom nota cu mulţimea funcţiilor original. Un exemplu de funcţie original îl constituie “funcţia unitate”, definitǎ prin
Se verificǎ uşor cǎ pentru funcţie , ce verificǎ doar proprietăţile (i) şi (ii) se poate considera funcţia , care este o funcţie original. Pentru tot ce va urma, vom conveni şi scriem doar f în locul produsului (în ipoteza cǎ f satisface proprietăţile (ii) şi (iii)).Se demonstrează cǎ suma şi produsul a douǎ funcţii original sînt de asemenea funcţii original. Fie mulţimea funcţiilor de variabilǎ complexǎ cu valori complexe. Numim operator Laplace (sau transformare Laplace ), aplicaţia: L: , definitǎ prin:
( f)(p) = F(p) = .
Funcţia F = f se numeşte imaginea prin transformata lui Laplace a funcţiei f. Se demonstrează cǎ imaginea F este definitǎ In semiplanul Rep s, . Mai mult, imaginea F este olomorfǎ în acest semiplan şi derivata sa este:
.
Din definiţia operatorului lui Laplace, rezultǎ cǎ acest operator este liniar. Folosind definiţia şi proprietăţile operatorului L, se deduc imaginile:
L[ ] = , ,
Utilizând teoremele pe care le enunţǎm mai jos, se pot obţine şi alte imagini. Amintim cǎ într-o formǎ concisǎ teoremele fundamentale :
1. (teorema asemănării)
2. (teorema întârzierii)
3. (teorema deplasării)
4. (teorema derivării imaginii)
5. , cunoscutǎ sub denumirea de “teorema derivării originalului ”, în ipoteza cǎ derivatele existǎ şi cǎ sînt funcţii original.
6. (în ipoteza cǎ este convergentǎ )(teorema integrării originalului
Preview document
Conținut arhivă zip
- Aplicatii ale Transformatei Laplace si Fourier in Tehnica.doc