Estimarea parametrică prin intervale de încredere. Estimarea mediei unei colectivități normale

Specializarea BRN

1. Estimaţii

Se numeşte estimator orice entitate a cărei valoare poate fi utilizată drept valoare (de regulă aproximativă) pentru o altă entitate. Valoarea estimatorului se zice că este o estimaţie.

Valoarea care aproximează, pe baza datelor de sondaj, valoarea necunoscută a unui parametru al populaţiei poartă denumirea de estimaţie statistică. Astfel, media aritmetică este estimator pentru media populaţiei μ, abaterea standard s este estimator pentru abaterea standard a populaţiei σ etc.

După natura lor, în statistică se utilizează două tipuri de estimaţii:

• punctuale

• sub formă de interval.

Printr-o estimaţie punctuală se înţelege valoarea unui estimator calculată într-un eşantion. Numim eroare de estimare valoarea absolută a diferenţei dintre estimaţia punctuală şi valoarea parametrului estimat.

Fie o populaţie statistică, caracterizată de o v.a. continuă X a cărei repartiţie depinde de un parametru δ, necunoscut. Prin definiţie, dacă se pot determina δ1 şi δ2 astfel încât pentru o valoare α prestabilită (0 < α < 1) să aibă loc P(δ1 <δ <δ2 ) =1−α , atunci intervalul (δ1, δ2) se numeşte interval de încredere pentru parametrul necunoscut δ, cu un coeficient (sau nivel) de încredere egal cu α, sau cu o siguranţă statistică Sα = 1–α.

Dacă atât δ1 cât şi δ2 sunt finite, atunci intervalul de încredere se zice bilateral. În cazul când δ1 este -∞, sau δ2 este +∞, ceea ce revine în fapt la determinarea unei singure limite, intervalul se zice unilateral.

1.1. Testarea ipotezelor statistice

Fără a încerca o generalizare, se poate accepta ideea că, în cele mai multe prelucrări statistice, datele sunt obţinute şi prelucrate pentru a verifica ipoteze ale cercetătorilor. Deci, ca o primă imagine a subiectului, trebuie reţinută secvenţa:

1. formularea unei ipoteze;

2. obţinerea de date experimentale;

3. verificarea ipotezei pe baza acestor date.

Vom considera semnificativ un eveniment care contrazice ipoteza de plecare.

Lumea reală Statistică

Are loc un eveniment Se formulează setul de ipoteze H0, H1

Se calculează, dintr-un eşantion, o statistică (statistica testului).

Se calculează, în ipoteza H0, probabilitatea pc de apariţie a valorii calculate (probabilitatea critică a testului, p-value).

Dacă pc este mică, apare o contradicţie,

Pentru a rezolva contradicţia se va respinge H0 în favoarea ipotezei H1 deoarece motivul pentru care probabilitatea critică este mică este faptul că la calculul acesteia s-a acceptat ipoteza H0.

Rezultă că probabilitatea de realizare este suficient

de mare. Dacă pc este mare, nu se respinge H0, nu există nici un motiv pentru a lua decizia contrară.

Rămâne o singură întrebare: începând de unde o probabilitate este considerată drept “mică”? Pentru a nu introduce subiectivismul în această decizie, se fixează, anterior deciziei în test, un prag sub care o probabilitate este considerată “mică”.

Această valoare se numeşte prag de semnificaţie şi se notează uzual cu α. Regula de decizie în test poate fi formulată atunci:

• dacă pc ≤ α, atunci se respinge ipoteza nulă, H0, în favoarea ipotezei alternative, H1;

• dacă pc > α , atunci nu se respinge ipoteza nulă H0.

Se numeşte regiune de respingere, pentru un nivel de semnificaţie α fixat, mulţimea rezultatelor (valorilor statisticii testului) care conduc la respingerea ipotezei H0. Dacă se pot defini limitele numerice ale regiunii de respingere, acestea se vornumi, uneori, valori critice ale testului.