Problema lui Brashman

Se da bara omogena AB de lungime l si greutate G care se sprijina cu capetele A si B pe suprafetele de ecuatii z = f1(x,y) respective z = f2(x,y) ca in figura de mai jos. Sa se determine pozitiile de echilibru si reactiunile normale.

a) (Problema lui Lurie). Sa se rezolve problema de mai sus in cazul in care cele doua suprafete sunt una si aceeasi.

b) (Problema lui Brashman). Sa se resolve problema lui Lurie in cazul particular in care ecuatia suprafetei este un elipsoid de revolutie de ecuatie

Discutie: Sa se considere planul particular al sferei cand a=c=R

Solutie:

Notam cu coordanetele punctelor A, respectiv B. Se pot scrie ecuatiile: (1)

Pana acum avem 6 necunoscute : coordanetele lui A si B

Sistemul ne va oferi trei dintre ele in functie de celelate trei daca defectul matricei

(2)

este egal cu zero, adica exista un minor in [J]de rang 3.

Energia potentiala se scrie sub forma (3)

Va trebui sa cercetam extremele functiei

(4)

Care depinde de noua necunoscute

Conform teoriei normelor de legaturi rezulta sistemul

(5)

Primele 6 ecuatii pot fi vazute ca un sistem liniar de 6 ecuatii cu 3 necunoscute Rezulta de aici 3 relatii de legatura intre derivatele partiale ale functiilor , si Astfel, grupand primele 3 ecuatii care formeaza un sistem de 3 ecuatii cu 2 necunoscute , problema este compatibila daca

(6)

In mod analog gasim din a patra, a cincea si a sasea ecuatie relatia:

(7)

Pentru ultima relatie de legatura vom proceda astfel. Vom elimina intre prima si a treia relatie, obtinand:

(8)

apoi pe intre a patra si a sasea relatie, rezultand:

(9)

si in final vom egala relatiile,

(10)

Pozitia de echilibru rezulta din sistemul algebric de sase ecuatii cu sase necunoscute format din ecuatiile (1), (6), (7), (10), iar din sistemul (7) gasim

Reactiunile normale NA si NB sin punctele A si B se scriu

(11)

Sa observam ca sistemul format din ecuatiile (1), (6), (7), (10) este compatibil daca defectul matricei [J] data de relatia (2) este egal cu zero. Nu putem spune insa spune insa ca acest sistem este si determinat in sensul ca putem avea mai multe solutii, chiar o infinitate.

a. Acest caz este un punct particular al punctului de mai sus.

Obtinem ecuatiile de legatura

(12)

Matricea [J] se scrie acum

(13)

Si are un minor de gradul 3.

(14)

Intr-adevar,

(15)

Sa notam cu nA si nB versorii nermalei la suprafata in punctele a, respectiv B, adica