Algebră analitică

1.1 Notiuni introductive

In acest capitol ne vom ocupa de cele mai importante proprietăti

matematice ale unei colectii de elemente care formează un spatiu liniar,

sau cum mai este denumit, spatiu vectorial. După cum se stie, elementele

unui spatiu vectorial pot fi entităti de natură foarte diferită. Astfel aceste

elemente pot fi forte, viteze, semnale electrice, matrici, sau chiar o multime

de functii definite pe un interval. In ciuda acestei diversităti, spatiul vectorial

poate fi descris în mod abstract, printr-o multime de elemente lipsite de

orice atribut fizic.

Intuitiv ne putem imagina spatiul vectorial abstract ca fiind

generalizarea spatiului vectorial tridimensional întâlnit de noi în studiul

stiintelor fizice.

Inainte de a începe studiul spatiilor vectoriale vom reaminti notiunile

matematice de grup si corp necesare scopului pe care ni l-am propus.

1.2 Grupuri

Fie o multime G nevidă.

Definitia 1.1. O functie definită pe G×G cu valori în G se numeste

operatie binară pe G si se notează cu ∗ . Dacă 1 g si 2 g sunt două elemente

din G , valoarea acestei functii se notează cu 1 2 g ∗ g si se citeste „ 1 g compus

cu 2 g ”.

Definitia 1.2. O multime G împreună cu o operatie binară ∗ definită

pe G se numeste grup dacă îndeplineste conditiile:

Un grup se noteză fie cu (G,∗), fie mai scurt cu G , caz în care

operatia binară se subîntelege din context.

Definitia 1.3. Elementul e care satisface conditia (2) se numeste

element neutru si este unic. Elementul g' care satisface conditia (3) se

numeste simetricul lui g si este unic determinat pentru un anumit g .

Definitia 1.4. Dacă ∀g g ∈G 1 2 , este indeplinită proprietatea

1 2 2 1 g ∗ g = g ∗ g , atunci grupul se numeste comutativ sau abelian.

Dacă operatia binară ∗ reprezintă operatia de adunare, grupul aditiv

se notează cu (G,⊕) , iar e este 0 (zero) si g' se notează cu − g . Diferenta

1 2 g − g se defineste ca fiind suma ( ) 1 2 g ⊕ −g .

Dacă operatia binară ∗ reprezintă operatia de înmultire, grupul

multiplicativ corespunzător se notează cu (G,⊗) . In această situatie e este

egal cu 1, iar elementul simetric g' este −1 g .

1.3 Corpuri

Definitia 1.5. O multime K împreună cu operatiile de adunare si

înmultire se numeste corp dacă sunt satisfăcute conditiile:

(1) adunarea determină pe K o structură de grup comutativ;

(2) înmultirea determină pe K -{0} o structură de grup;

(3) înmultirea este distributivă fată de adunare adică:

Definitia 1.6. Un corp pentru care si înmultirea este comutativă se

numeste corp comutativ, sau câmp.

Un corp se notează cu(K,⊕,⊗) . Corpuri des întâlnite sunt corpul

numerelor reale (R,+,⋅ ), corpul numerelor rationale (Q,+,⋅) si corpul

numerelor complexe (C,+,⋅ ).

Observatie: Prin simbolurile ⊕ si ⊗ sau notat operatiile generale de

adunare si înmultire. Acestea trebuie definite pentru fiecare corp în parte în

functie de natura elementelor care formează corpul. Pentru corpuri

cunoscute cum sunt cele definite peste R, Q sau C aceste simboluri au

fost înlocuite cu semnele +,⋅ ale căror semnificatie este deja cunoscută, iar

elementele neutre pentru adunare si înmultire sunt respectiv numerele 0 si

1.4 Spatii Vectoriale

Pentru a defini un spatiu vectorial V , este necesară o multime de

obiecte {x} numite de obicei elemente, vectori sau puncte, un corp K si

două operatii binare definite între acesti vectori si elemente ale corpului K ,

denumite scalari. Aceste operatii sunt următoarele:

- o operatie internă denumită adunare ⊕:V ×V →V

- o operatie externă denumită înmultire ⊗:K ×V →V

După cum se constată de mai sus rezultatul acestor operatii binare

trebuie să fie, de asemenea, un vector al multimii V . Această proprietate se

numeste închidere.