Extras din seminar
Definitie: Fie V, V’ doua spatii vectoriale peste acelasi corp de scalari K de
dimensiuni n respectiv m. O aplicatie T : V ’ V’ se numeste aplicatie (transformare
sau operator) liniara daca este aditiva si omogena, deci daca verifica:
a) T (x + y) = T(x) + T(y), ( ) x, y V
b) T(±x) = ±T(x), ( )± K, x V.
Teorema Aplicatie T : V ’ V’ este aplicatie liniara daca si numai daca:
T(±x + ²y) = ±T(x) + ²T(y), ( ) ±, ² K, x, y V.
Exemplul 1
Sa se arate ca aplicatia T : R2 ’ R3 unde
T(x1, x2) = (x1 + x2, –x2, – x1–x2) este liniara
Rezolvare: Conform teoremei enuntate mai sus vom arata ca:
T(±x + ²y) = ±T(x) + ²T(y) ( ) ±, ² R, x, y R2 Ô
T(±x1 + ²y1, ±x2+ ²y2) = ±T(x1, x2) + ²T(y1, y2) Ô
(±x1 + ²y1 + ±x2 + ²y2, – ±x2 – ²y2, – ±x1 – ²y1 – ±x2 – ²y2) =
= ±(x1 + x2, –x2, – x1 –x2) + ²(y1 + y2, –y2, – y1 –y2) (A).
Teorema: Fie V, V’ doua spatii vectoriale peste acelasi corp de scalari K;
B = {a1, a2, ..., an} baza a spatiului vectorial V si B’ = {b1, b2, ..., bn} baza a
spatiului V’. Fie ai un vector oarecare din B atunci T(ai) V’ si poate fi reprezentat în
mod unic în functie de vectorii bazei B’:
T(ai) = ±1b1 + ±i bi+ ... + ±inbn.
Matricea formata din coordonatele vectorilor T(a1), T(a2), ... , T(an) în baza B’
se va numi: matricea asociata aplicatiei liniare T în raport cu perechea de baze
{B, B’}.
Exemplul 2:
Fie aplicatia liniara T : R2 ’ R3, T(x1, x2) = (x1 + x2, – x2, – x1 –x2)
a) Sa se determine matricea asociata aplicatiei liniare T în raport cu perechea
de baze: B = {a1, a2} si B’ = {b1, b2, b3},
b) Sa se determine matricea asociata aplicatiei liniare T în raport cu bazele
canonice.
Rezolvare:
a) T(a1) = T(1, 1) = (2, –1, –2)
T(a2) = T(–1, 3) = (2, –3, –2).
2
Coordonatele acestor doi vectori în baza B’ sunt:
(10/4, –9/8, 1/8) si respectiv (–5/2, 1/8, 7/8). Deci
T(e1) = T(1, 0) = (1, 0, –1)
T(e2) = T(0, 1) = (1, –1, –1).
Coordonatele acestor doi vectori în baza B’ sunt
(1, 0, –1) si respectiv (1, –1, –1) si deci
1.2. Valori proprii si vectori proprii asociati aplicatiei liniare.
Definitie: Fie V spatiu vectorial n – dimensional peste corpul de scalari K si T
: V ’ V o aplicatie liniara. Un scalar » K se numeste valoare proprie pentru
aplicatie liniara T daca exista cel putin un vector nenul v V astfel încât:
T(v) = »v. (1)
Definitie: Vectorul nenul v V care verifica relatia (1) se numeste vector
propriu pentru aplicatia T asociata valorii proprii ».
Prezentam în continuare modul de determinare al valorilor si vectorilor proprii
pentru o aplicatie liniara.
Fie T : V ’ V’ o aplicatie liniara cu matricea aplicatiei AT definita în baze
canonice.
Relatia (1) se mai scrie: T(v) – »v = 0 sau ( ) 0 T n v A »E v= (2)
Relatia (2) reprezinta scrierea matriciala a unui sistem omogen. În consecinta
coordonatele vectorului propriu v nenul sunt solutiile sistemului omogen (2). Solutiile
sistemului omogen (2) nu sunt toate nenule numai daca determinantul sistemului este
nul: P(») = det (AT - »En) = 0
Polinomul P(») se numeste polinomul caracteristic asociat aplicatiei liniare T
si ecuatia P(») = 0 se numeste ecuatia caracteristica a aplicatiei T.
3
Teorema: Fie T: V ’ V’, » K este o valoare proprie a aplicatiei liniare T
daca si numai daca este radacina a ecuatiei caracteristice.
Preview document
Conținut arhivă zip
- Matematici pentru Economisti - Tema 3.pdf