Automate și Microprogramare

REPREZENTAREA NUMERELOR

Baze de numeratie

1.1 Introducere

Din cele mai vechi timpuri, omul, ca fiinta rationala, a fost pus în situatia de a compara obiectele mediului înconjurator, a le reuni, sau a întocmi diferite colectii ale acestora. În acest scop, el a trebuit sa îsi imagineze si sa aplice un asemenea sistem, încât acesta sa evidentieze si sa reprezinte operatiile care urmau sa fie facute. În acest mod s-a ajuns treptat la necesitatea operarii cu numere. În primele sale faze, aceasta operatie era simpla, utilizându-se doar niste semne facute pe un anumit obiect (raboj). Mai târziu, se produce un salt calitativ, introducându-se unele cuvinte având o semnificatie speciala, adica "numerele".

Un numar reprezinta o notiune abstracta, imaginat ca totalitatea multimilor a caror proprietate comuna este aceea ca fiecare contine un acelasi numar de elemente (multimile au acelasi cardinal). Altfel spus, un numar se poate descrie printr-o clasa de multimi care pot fi puse într-o corespondenta biunivoca daca ne referim la numarul elementelor lor.

Primele numere introduse si folosite de catre om au fost cele mici deoarece ele se realizau prin folosirea degetelor mâinilor si picioarelor umane. O asemenea concluzie se poate trage în urma unei analize a constructiei numerelor în diverse limbi, si care au de obicei forme diferite (de regula, complet distincte) doar pâna la 20. În limba româna fenomenul este evident:

unu, doi, ... , zece, unsprezece, ... , nouasprezece,

douazeci, douazeci si unu, ... , treizeci si doi, etc.

Se vede clar ca regula de formare a numerelor de la 11 la 19 este diferita de cea utilizata pentru formarea numerelor începând cu 21. Un argument în plus îl gasim în limba franceza unde, numerele începând de la 70 atesta baza 20:

72 = saizeci si doisprezece (soixante douze)

85 = de patru ori douazeci si înca cinci (quatre-vingts cinq), etc.

În prima ei faza, numararea se efectua oral, iar problemele ce apareau atunci se rezolvau relativ usor. Odata cu aparitia necesitatii de evidentiere în scris a numerelor, problemele aparute au început sa fie tot mai dificile, si, se constata ca ele au fost rezolvate, de regula, dupa transcrierea limbii vorbite. Aceste dificultati s-au datorat înaltului grad de abstractizare a calculului în raport cu diverse descrieri. Dupa cum în scriere primele semne introduse reprezentau cuvintele, mai apoi simbolizându-se silabele si în final sunetele, tot asa, si în scrierea numerelor, etapele au fost asemanatoare: la început s-au introdus semne pentru numere, apoi pentru ponderi si la sfârsit, pentru reprezentarea fiecarui ordin de marime.

Se cunosc doua sisteme de numeratie mai importante: sistemul roman si sistemul arab.

Sistemul roman foloseste pentru reprezentarea numerelor unele semne grafice, în fond litere, care rezulta ca initiale ale transcrierii sunetelor ce desemneaza respectivele numere:

I - unu L - cincizeci M - o mie

V - cinci C - o suta

X - zece D - cinci sute

Pentru a scrie un numar, se repeta de un anumit numar de ori ponderile mari si apoi, în ordine descrescatoare pentru celelalte ponderi.

Pentru a scrie numerele cât mai condensat, s-au introdus unele reguli de inversiune, care sunt destul de complicate si care nu au exclus posibilitatea de aparitie a redondantei în scriere; de exemplu: VL, XLV, XXXXV, etc.

O alta remarca care se poate face relativ la acest sistem de numeratie este aceea ca, în cadrul lui, lungimea numarului scris nu sugereaza marimea lui; de exemplu:

60 = LX, dar

38 = XXVIII.

Sistemul arab de numeratie este cunoscut adesea si sub denumirea de "sistem de scriere pozitionala".

Deosebirile esentiale ale acestui sistem fata de cel roman sunt urmatoarele:

- deducerea ponderilor este implicita, pentru numarul de ponderi considerat, date prin pozitia cifrelor; din acest motiv, scrierea este numita si pozitionala;

- semnele sunt folosite pentru numarul de ponderi de un anumit ordin (50 = cincizeci), existând deci o corespondenta cu limba vorbita;

- lipsa ponderilor de un anumit ordin este indicata printr-un semn corespunzator, care este cifra zero; în acest mod pot fi numarate si multimile care nu au nici un element;

- oricare dintre ponderi se obtine prin ridicarea la putere a unui numar unic, deci printr-o înmultire repetata a ponderii de baza.

1.2 Baze de numeratie

1.2.1 Sistemul zecimal

Sistemul zecimal este cel mai cunoscut si prezinta o mare usurinta în scrierea unui numar, precum si pentru operatiile elementare care se pot efectua.

Sa consideram numarul 1295. Prin împartiri succesive prin 10, se constata ca acest numar contine 5 unitati, 9 grupe de zeci (multimi în care sunt grupate câte 10 elemente), 2 grupe de sute si o grupa de o mie. Pe de alta parte, o grupa de zece contine 10 unitati, o grupa de o suta contine 10 grupe a câte 10 unitati, iar o grupa de o mie contine 10 grupe de sute, etc.

Prin urmare, numarul considerat poate fi scris în forma: