Curs Programare C++

Cap 1. Reprezentarea informaţiilor

1.1 Reprezentarea numerelor întregi în sistemul binar

Un număr natural se reprezintǎ ca o colecţie de cifre. In sistemul poziţional, poziţia unei cifre determină ponderea cifrei în mărimea numărului. Fie numărul

Mărimea numărului natural corespunzător este:

unde: r>1 este baza, n este numărul de cifre, iar este cifra de pe poziţia i. Avem totdeauna In sistemul zecimal cifrele utilizate sunt 0, 1, 2, , 9. In sistemul binar cifrele utilizate sunt 0 şi 1, în sistemul octal 0, 1, 2, , 7, iar în sistemul hexazecimal cifrele utilizate sunt: 0, 1, 2, , 9,A,B,C,D,E,F unde: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 şi F=15. Cifrele sistemului binar se numesc biţi.

Conversia zecimal-binarǎ

Fie un numǎr natural reprezentat în sistemul binar

In partea dreaptă avem un polinom de puteri ale lui 2. Coeficientul este 0 sau 1. Din expresia de mai sus a numǎrului se observǎ cǎ cifrele , , etc se pot obţine ca resturile impǎrţirilor repetate ale numǎrului N cu 2. Vom nota:

şi vom scrie:

de unde deducem:

Vom scrie

de unde deducem:

Dupǎ n astfel de operaţii vom avea:

unde:

După cum se observǎ, resturile obţinute reprezintǎ chiar cifrele numǎrului binar.

Exemplu. Sǎ convertim numarul 14 din baza 10 în baza 2.

Avem deci:

Avem:

de unde obţinem:

In final:

de unde obţinem:

deci reprezentarea numǎrului 14 în binar este:

In acelaşi fel obţinem:

Algoritmul de conversie a unui numǎr din baza 10 în baza 2 este urmǎtorul:

1.

2.

3. cât timp

{

}

Resturile obţinute sunt cifrele numǎrului binar, primul rest fiind cifra cea mai puţin semnificativǎ.

Conversia din baza 10 în baza 8 sau 16 se face prin împǎrţiri repetate cu 8 şi respectiv 16.

Unitatea de bază a informaţiei în calculator este un octet sau byte, ce cuprinde 8 cifre binare (biţi). Numerele întregi se reprezintǎ în calculator pe 8, 16, 32 sau 64 de biţi. Având un număr în baza 2, pentru reprezentarea sa în baza 16 se grupează câte 4 cifre binare.

Exemplu.

Reprezentarea în baza 16 este importantǎ deoarece un octet poate fi reprezentat prin două cifre hexazecimale.

Având un numǎr în baza 2, pentru reprezentarea în baza 8 se grupează câte 3 cifre binare.

Exemplu.

Pentru verificare

Conversia unui număr din baza 16 în baza 2 se face reprezentând fiecare cifrǎ hexazecimalǎ prin 4 cifre binare.

Conversia unui numǎr din baza 8 în baza 2 se face convertind fiecare cifrǎ octalǎ prin 3 cifre binare. Pentru conversii de numere între bazele 2, 8, 10 şi 16 şi operaţii cu numere în aceste baze se poate folosi aplicaţia Calculator a sistemului de operare Windows.

Reprezentarea numerelor binare cu semn

In cazul numerelor binare cu semn, bitul cel mai semnificativ este bitul de semn. El este 0 pentru numere pozitive şi 1 pentru numere negative. Există trei reprezentǎri ale numerelor binare cu semn.

Reprezentarea în mǎrime şi semn

Numǎrul pozitiv X se reprezintǎ ca:

Numǎrul negativ X se reprezintǎ ca:

Exemple. Vom considera numere întregi reprezentate pe 8 biţi, un bit de semn şi 7 biţi ai numǎrului:

Număr zecimal Reprezentare binarǎ Reprezentare hexazecimalǎ

13 0000 1101 0D

-13 1000 1101 8D

25 0001 1001 19

-7 1000 0111 87

127 0111 1111 7F

-127 1111 1111 FF

Gama numerelor întregi reprezentabile pe un octet în mǎrime şi semn este [-127, 127].

Putem scrie formula de reprezentare a numerelor binare în mǎrime şi semn ca:

unde coeficientul are valoarea 0 sau 1. Primul bit va fi interpretat ca şi coeficientul lui

Reprezentarea în complement faţǎ de 1

Numǎrul pozitiv X se reprezintǎ în complement faţǎ de 1 ca: