Extras din curs
METODA OPERATIONALA
LAPLACE
Acest capitol este axat in principal pe analiza de tip intrare-ie.ire (I-E) a
sistemelor liniare continue (netede) cu ajutorul formalismului opera.ional Laplace.
In plus, sunt abordate .i analizate unele caracteristici structurale ale sistemelor din
perspectiva teoriei moderne, care are la baz. formalismul de tip intrare-stare-ie.ire
(I-S-E).
Caracteristica principal. a metodei opera.ionale Laplace este forma simpl. de
descriere matematic. a corela.iei dinamice intre intrarea .i ie.irea unui sistem liniar.
Anticipand, modelul opera.ional dinamic al sistemului va avea o form. similar.
celei a modelului sta.ionar, la care ie.irea y se ob.ine prin multiplicarea intr.rii u
cu un factor constant de propor.ionalitate K :
y=Ku
O asemenea form. simpl. a modelului opera.ional dinamic are consecin.e
pozitive in analiza .i sinteza sistemelor compuse (de tip serie, paralel, cu reac.ie,
mixte). Simplificarea formalismului matematic se realizeaz. ins. cu pre.ul cre.terii
gradului de abstractizare. Aceasta presupune, in primul rand, trecerea de la studiul
sistemelor in domeniul timpului la studiul in domeniul complex .i, in particular, in
domeniul frecven.ei.
Metoda opera.ional. Laplace are ca punct de plecare forma relativ simpl. a
rela.iei (modelului) de convolu.ie, care exprim. r.spunsul unui sistem liniar
continuu la o intrare dat. u(t) de tip original (nul. pentru t < 0), atunci cand se
cunoa.te func.ia pondere a sistemului (r.spunsul la impuls Dirac) g(t) :
( ) ( ) ( ) ( )* ( ) 0 y t g t u d g t u t t = ç .ƒÑ ƒÑ ƒÑ = .
2 SISTEME DE REGLARE AUTOMATA. TEORIE SI APLICATII.
Rezultatul y(t) al opera.iei de convolu.ie g(t)*u(t) depinde de intreaga evolu.ie a
semnalului de intrare u .i a r.spunsului pondere g pe intervalul [0, t]. In acest
mod, valoarea curent. a ie.irii y(t) cumuleaz. toate efectele produse de semnalul
de intrare u la momentele de timp din intervalul [0, t]. Rela.ia de convolu.ie
eviden.iaz. faptul c. func.ia pondere g(t) con.ine toate caracteristicile dinamice ale
sistemului din perspectiva corela.iei intrare-ie.ire.
In cadrul metodei opera.ionale Laplace, rela.ia de convolu.ie y = g *u va c.p.ta
forma algebric.
Y(s) =G(s).U(s) ,
unde s este variabila complex. Laplace, iar Y(s) , G(s) .i U(s) sunt transformatele
Laplace ale func.iilor y(t) , g(t) .i u(t) . Modelul opera.ional este deci un model
abstract (in domeniul complex), dar care exprim., intr-o form. algebric. simpl.,
faptul c. ie.irea complex. Y(s) este produsul dintre func.ia complex. G(s) asociat.
caracteristicilor dinamice ale sistemului .i intrarea complex. U(s) . Forma simpl. a
modelului opera.ional permite, in primul rand, simplificarea studiului sistemelor
liniare compuse (de tip serie, paralel, cu reac.ie, mixte), care este relativ dificil de
efectuat in domeniul timpului. Astfel, ob.inerea modelului matematic al unui sistem
compus din ecua.iile diferen.iale ale subsistemelor componente este o opera.ie
complicat. care presupune eliminarea tuturor variabilelor intermediare, inclusiv a
derivatelor acestora. A.a cum vom vedea in continuare, ob.inerea modelului
opera.ional al sistemului compus este o opera.ie mult mai simpl., realizabil. pe baza
unor rela.ii strict algebrice.
1.1. TRANSFORMAREA LAPLACE
Variabilele de intrare, de stare .i de ie.ire ale sistemelor liniare continue, aflate
in regim sta.ionar pentru t < 0, sunt func.ii de timp de tip original, care admit
transformate Laplace. O func.ie original f (t) este nul. pentru t < 0 , este continu. .i
derivabil. pe por.iuni .i are o rat. de cre.tere cel mult exponen.ial., adic. exist.
A>0 .i B >0 astfel incat
f (t) . AeBt .
Pentru a fi satisf.cut. prima proprietate, a.a cum am procedat .i in domeniul
timpului, vom considera c. variabilele unui sistem reprezint. varia.iile m.rimilor
METODA OPERATIONALA LAPLACE 3
fizice respective fa.. de valorile lor ini.iale (la momentele de timp t < 0, cand
sistemul se afl. in regim sta.ionar). In cazul sistemelor liniare, r.spunsul stare X (t)
.i r.spunsul ie.ire Y(t) la orice semnal de intrare tip original sunt r.spunsuri for.ate
de tip original.
Transformata Laplace sau imaginea Laplace a func.iei original f (t) este dat.
de rela.ia
Preview document
Conținut arhivă zip
- Cap1_TSA.pdf
- Cap2_TSA.pdf
- Cap3_TSA.pdf