Metode Numerice

1. REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE

Introducere. Rezolvarea sistemelor algebrice liniare şi operaţiile de calcul matriceal (evaluarea determinanţilor, inversarea matriceală, calculul valorilor şi vectorilor proprii) sunt incluse în domeniul algebrei liniare – implicată în diverse probleme ştiinţifice, de exemplu:

– problemele care depind de un număr finit de grade de libertate, reprezentate prin ecuaţii diferenţiale ordinare sau cu derivate parţiale sunt transformate, cu ajutorul diferenţelor finite, în sisteme de ecuaţii liniare;

– problemele neliniare sunt frecvent soluţionate (aproximate) prin procese de liniarizare;

– programarea liniară implică rezolvarea unor sisteme de ecuaţii algebrice liniare;

– foarte multe probleme inginereşti din domeniul reţelelor electrice, analiza structurilor, proiectarea clădirilor, vapoarelor, avioanelor, transportul lichidelor şi gazelor prin conducte etc. necesită, pentru soluţionare, rezolvarea unor sisteme liniare.

Formularea problemei. Fie A ∈ Rnxn (o matrice reală cu n linii şi n coloane), b ∈ Rn (un vector – matrice coloană – cu n componente reale) şi vectorul necunoscut x ∈ Rn. Atunci un sistem de ecuaţii liniare se scrie sub una din formele:

⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++nnnn22n11n1nn1212111bxa...xaxa.................................................bxa...xaxa

sau matriceal: Ax = b sub formă compactă şi

⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛nn2n1nn22221n11211a...aa............a...aaa...aa (1) ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛n21n21bbbxxxMM

sub formă dezvoltată.

O ultimă variantă de scriere a unui sistem liniar este:

Σ==n1jijijbxa, i = 1, 2, ..., n

Observaţii.

1. Un sistem liniar (1) este consistent dacă are cel puţin o soluţie şi inconsistent dacă nu are nici o soluţie. Orice sistem liniar considerat în continuare poate avea soluţie unică (compatibil determinat), nici o soluţie (incompatibil) sau o infinitate de soluţii (compatibil nedeterminat) – nu există alte posibilităţi. Bineînţeles că interesează primul caz.

2. Sistemele (1) se pot clasifica şi după vectorul b, în:

a) sisteme omogene – dacă b = 0. Orice sistem omogen de forma Ax = 0 este un sistem consistent (deoarece are soluţia x = 0 – neinteresantă). Un sistem omogen are o soluţie nebanală dacă şi numai dacă det A = 0 (adică A este singulară). În această situaţie soluţia depinde de cel puţin un parametru.

b) sisteme neomogene – dacă b ≠ 0. Sistemul (1) este compatibil determinat pentru )(∀ b ≠ 0 dacă şi numai dacă sistemul omogen Ax=0 nu are decât soluţia banală (adică A este nesingulară).

3. În sistemele obţinute din aplicaţiile fizice, numerele ce constituie matricea A şi vectorul b sunt afectate de erori inerente (provenite din măsurători) sau erori de rotunjire (1/7 nu poate fi reprezentat exact pe nici un calculator electronic – care are lungime fixă a cuvântului – deoarece reprezentarea lui în binar are o infinitate de biţi). Dacă erorile mici în cadrul coeficienţilor lui A şi b, sau în procesul de calcul au un efect redus asupra vectorului, soluţie, un astfel de sistem este bine condiţionat, iar dacă efectul este considerabil, un astfel de sistem este slab condiţionat.

Metodele numerice de rezolvare a sistemului liniar (1) sunt de două tipuri: directe şi iterative.

Rezolvarea directă a sistemelor de ecuaţii liniare

Metodele directe constau în reducerea sistemului (1), într-un număr finit de etape, la un sistem echivalent, (cu aceeaşi soluţie) direct rezolvabil – prin substituţie directă sau inversă.

Aceste metode furnizează soluţia exactă x a sistemului (1) în cazurile (ideale) în care erorile de rotunjire sunt absente şi necesită, în

acest scop, efectuarea unui număr de operaţii aritmetice elementare de ordinul n3.

Din acest motiv, metodele directe se utilizează pentru rezolvarea sistemelor „uzuale“, de dimensiune n ≤ 100.

În continuare vom prezenta câteva metode directe de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare.