Extras din curs
Filtrele digitale cu răspuns infinit la impuls (RII), ce vor fi denumite
în continuare filtre IIR (Infinite Impulse Response), constituie blocuri
importante în multe sisteme de prelucrare numerică a semnalelor. Ele sunt
recomandate în situaţiile în care trebuie realizate benzi de tranziţie foarte
înguste, precum şi atunci când sunt necesare atenuări foarte mari în banda
de oprire. Deoarece prezintă reacţie, filtrele IIR necesită mai puţine celule
de întârziere, preţul plătit fiind neliniaritatea fazei şi eventuale probleme
de stabilitate.
3.1. Introducere
Un filtru IIR poate fi caracterizat în domeniul timp prin ecuaţia cu
diferenţe
[ ] Σ [ ] Σ [ ]
= =
= − − + −
M
k
k
N
k
k y n a y n k b x n k
1 0
(3.1)
Aplicând transformată Z ecuaţiei (3.1), rezultă
( ) ( ) ( )
1 0
Y z a z Y z b z k X z
M
k
k
N
k
k
k
−
= =
= −Σ − +Σ (3.2)
Funcţia de transfer a filtrului este
( )
( )
1
( )
1
0
A z
B z
a z
b z
H z N
k
k
k
M
k
k
k
=
+
=
Σ
Σ
=
−
=
−
(3.3)
Impunând în relaţia (3.1) intrarea x[n] =δ [n], se obţine răspunsul
la impuls al filtrului IIR cauzal
128
[ ]
<
− − >
− − ∈
= Σ
Σ
=
=
0, 0
[ ],
[ ], [0, ]
1
1
n
a h n k n M
b a h n k n M
h n
N
k
k
N
k
n k
(3.4)
În continuare filtrele vor fi considerate stabile, adică răspunsul lor
la impus este absolut sumabil [63]
Σ∞
=
< ∞
0
[ ]
n
h n (3.5)
condiţie care, în planul Z conduce la necesitatea ca cercul unitate să fie
inclus în domeniul de convergenţă. Dacă se impune şi condiţia de
cauzalitate pentru filtru, care, în domeniul Z conduce la necesitatea ca
regiunea de convergenţă să fie exteriorul unui cerc, rezultă că toţi polii
filtrului cauzal şi stabil se situează în interiorul cercului unitate.
Răspunsul la impuls al filtrului poate fi calculat şi ca transformata Z
inversă a funcţiei de sistem [63]
∫ = − = −
C
H z z n dz
j
h n Z 1 H z ( ) 1
2
[ ] { ( )} 1
π
(3.6)
unde C este un contur închis în planul complex, parcurs în sens orar, care
conţine originea.
Prin evaluarea funcţiei de transfer H(z) pe cercul unitate, se obţine
răspunsul în frecvenţă al filtrului
( )
1
0 ( )
1
( ) θ ω
ω
ω
ω ω j
N
k
jk
k
M
k
jk
k
H e
a e
b e
H =
+
=
Σ
Σ
=
−
=
−
(3.7)
Răspunsul de modul al filtrului este
, 1
( )
( )
( ) 0 = a =
A
B
H
ω
ω
ω (3.8)
Aşa cum a fost prezentat în Capitolul 1, polii funcţiei de transfer vor
determina maxime ale răspunsului în frecvenţă, cu atât mai pronunţate, cu
cât se află mai aproape de cercul unitate, iar zerourile vor determina
minime, eventual anulări ale răspunsului în frecvenţă, dacă se află pe
129
cercul unitate. Ca urmare, filtrele IIR permit realizarea unor maxime
ascuţite, benzi de trecere foarte înguste şi, la fel, benzi de tranziţie foarte
înguste. Asemenea performanţe s-ar putea realiza şi cu filtre FIR, dar cu
preţul unor lungimi foarte mari.
Preview document
Conținut arhivă zip
- Proiectarea Filtrelor Digitale cu Raspuns Infinit la Impuls.pdf