Compunerea a Două Oscilații Armonice Perpendiculare de Frecvențe Diferite

Când cele două oscilaţii perpendiculare au frecvenţe (pulsaţii) dife¬rite, adică (sau ), putând fi descrise de ecuaţiile

traiectoria a particulei supuse acţiunii simultane a celor două osci¬la¬ţii este o curbă relativ complicată, astfel de traiectorii purtând denumirea de figuri Lissajous.

Traiectoria va fi deci o curbă a cărei formă depinde de raportul celor două pulsaţii , precum şi de diferenţa de fază .

OSCILAŢII AMORTIZATE

Vom considera un sistem oscilator asupra căruia acţio¬nează forţa elastică şi o forţă de amortizare vâscoasă direct pro¬por¬ţio¬nală cu viteza corpului şi îndreptată în sens opus acesteia, în expresia sa, C purtând numele de coeficient de amortizare.

Pentru acest sistem, ecuaţia de mişcare se scrie sub forma

sau

în final, având

Efectuăm notaţiile

unde este pulsaţia proprie a sistemului, iar ecuaţia mişcării amortizate se scrie sub forma:

aceasta fiind o ecuaţie diferenţială omogenă, de ordinul al doilea, cu coefi¬cienţi constanţi, a cărei soluţie particulară este

şi deci

Substituind, vom obţine ecuaţia caracteristică

care admite soluţiile

Distingem următoarele cazuri:

a.) , rădăcini complexe: ;

b.) , rădăcini reale egale: ;

c.) , rădăcini reale distincte: .

Valoarea coeficientului de amortizare pentru care se numeşte coeficient de amortizare critică ,

de unde

Raportul adimensional va purta numele de factor de amor¬ti¬zare.

Considerăm cazul în care , efectuăm notaţia

rădăcinile ecuaţiei caracteristice fiind

iar soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale va fi de forma

sau, prelucrând,

Cum amplitudinea mişcării este o funcţie de timp

putem scrie

Diagrama mişcării este o sinusoidă delimitată de curbele .

O mărime ce caracterizează amortizarea oscilaţiilor este logaritmul natu¬ral al raportului elonga¬ţiilor la interval de o perioadă sau al raportului dintre două maxime succesive:

care poartă numele de decrement logaritmic al amortizării, iar T reprezintă pseudoperioada, adică perioada mişcării amortizate, cu

fiind pseudopulsaţia.

Dacă , rezultă , deci , rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale,

iar soluţia este de forma

Dacă , atunci , caz în care rădăcinile ecuaţiei carac¬te¬ristice sunt egale

iar soluţia se scrie

OSCILAŢIILE SISTEMULUI NEAMORTIZAT

ACŢIONAT DE O FORŢĂ PERIODICĂ

Fie sistemul mecanic prezentat în figură, asupra căruia acţio¬nează o forţă armonică , cu .

Scriem ecuaţia diferen¬ţială a mişcării corpului

sau

după care

iar notând

va rezulta ecuaţia diferenţială

Soluţia unei astfel de ecuaţii se scrie sub forma

unde

Înlocuind soluţia particulară în ecuaţia diferenţială, obţinem