Extras din curs
2.1 Sfera
Definitia 1.1 Se nume¸ste sfer˘a mul¸timea tuturor punctelor din spa¸tiu pentru care distan¸ta la u punct fix numit
centrul sferei este egal˘a cu un num˘ar numit raza sferei.
Fie centrul sferei C (a, b, c) ¸si raza sferei R.
Teorema 1.1 Punctul M (x, y, z) apar¸tine sferei dac˘a ¸si numai dac˘a coordonatele sale verific˘a ecua¸tia:
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (2.1.1)
Demonstra¸tie: diatan¸ta de la M la C este egal˘a cu
q
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 care egalat˘a cu R este
echivalent˘a cu (2.1.1).¤
Dac˘a în ecua¸tia de mai sus se fac calculele ¸si se reduc termenii asemenea ob¸tinem:
x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + q = 0 (EGS)
ecua¸tie care poart˘a denumirea de ecua¸tia general˘a a sferei. (EGS) reprezint˘a o sfer˘a cu centrul în punctul
¢2 − q dac˘a expresia de sub radical este pozitiv˘a.
Remarca 1.1 Sfera se mai poate da ¸si folosind ecuatiile parametrice: ⎧⎨
⎩
x = R cos ϕ sin ϑ + a
y = R sin ϕ sin ϑ + b
z = R cos ϑ + c
, ϕ∈ [0, 2π] , ϑ ∈ [0, π] (EPS)
unde parametrii sunt unghiurile ϕ, ϑ din figura de mai jos:
M
q
O
x y
z
f
pentru ϕ constant se ob¸tin pe sfer˘a jum˘at˘a¸ti de cecuri mari ("meridiane"), iar pentru ϑ constant se ob¸tin pe sfer˘a
cercuri ("paralele").
- 1-
Legat de sfer˘a ne propunem s˘a determin˘am ecau¸tia unui plan tangent la sfer˘a într-un punct de pe sfer˘a. Fie
M0 (x0, y0, z0) un punct pe sfer˘a.
Teorema 1.2 Ecua¸tia planului tangent la sfer˘a în punctul M0 este:
(x − a) (x0 − a) + (y − b) (y0 − b) + (z − c) (z0 − c) = R2 (EPTS)
Demonstra¸tie: Planul tangent la sfera˘ înM0 este determinat deM0 s¸i normala C−−M−→0 (planul este perpendicular
pe raz˘a), deci ecua¸tia sa este:
(x − x0) (x0 − a) + (y − y0) (y0 − b) + (z − z0) (z0 − c) = 0
Dar x − x0 = (x − a) − (x0 − a) , .. care înlocuite în ecua¸tia de mai sus dau:
(x − a) (x0 − a) + (y − b) (y0 − b) + (z − c) (z0 − c) −
³
(x0 − a)2 + (y0 − b)2 + (z0 − c)2
´
= 0
¸Tinând cont de faptul c˘a coordonatele lui M0 verific˘a ecau¸tia sferei, rezult˘a (EPTS).¤
Remarca 1.2 Ecuatia planului tangent la sfer˘a se ob¸tine din (EGS) prin dedublare :
(x − a)2 = (x − a) (x − a) → (x − a) (x0 − a) , ...
Remarca 1.3 Dac˘a sfera este dat˘a sub form˘a general˘a atunci ecuatia planului tangent în punctul M0 de pe sfer˘a
este:
xx0 + yy0 + zz0 + m
x + x0
2
+ n
y + y0
2
+ p
z + z0
2
+ q = 0
dedublarea fiind: x2 = xx → xx0, x = x+x
2 → x+x0
2 .
Preview document
Conținut arhivă zip
- cuaddrice.pdf
- dreapta.pdf
- exemlu_sub.pdf
- gaussx.pdf
- gen_rect_cuadr.pdf
- generari_supr.pdf
- geom_dif_sup1.pdf
- geom_dif2.pdf
- planul.pdf
- sfera.pdf
- vectori.pdf
Alții au mai descărcat și
INTRODUCERE Rezolvarea ecuaţiilor algebrice este una dintre cele mai importante probleme ale matematicii şi a constituit multă vreme obiectul...
Introducere Teoria ecuaţiilor diferenţiale are un rol deosebit de important în matematică şi în alte domenii ale ştiinţei. Astfel la sfârşitul...
INTRODUCERE Prezenta lucrare de licenţă cu titlul “GENERAREA CURBELOR PLANE” face parte din geometria diferenţială. Lucrarea este structurată în...
INTRODUCERE Teoria ecuaţiilor diferenţiale¸ reprezintă unul din domeniile fundamentale ale matematicii cu largi aplicaţii în tehnică, ca de...
Capitolul I. Funcţii trigonometrice Sisteme de măsură pentru unghiuri şi arce În trigonometrie se utilizează două unităţi de măsură a...
INTRODUCERE În analiza matematică, integrala unei funcții este o generalizare a noțiunilor de arie, masă, volum și sumă. Procesul de determinare a...
CAPITOLUL I. NOŢIUNII FUNDAMENTALE PRIVIND INTEGRALA DEFINITĂ. 1.1. Conceptul de integrală definită. 1.1.1. Definiţia şi proprietăţi. Fie...
1. MATRICI 1.1. Despre matrici Definiţie. Se numeşte matrice cu m linii şi n coloane (sau de tip ) un tablou cu m linii şi n coloane ale cărui...
Te-ar putea interesa și
INTRODUCERE Rezolvarea ecuaţiilor algebrice este una dintre cele mai importante probleme ale matematicii şi a constituit multă vreme obiectul...
CAPITOLUL 1 ALGEBRE ŞI COALGEBRE 1.1 Algebre şi module Fie k un corp comutativ. Vom da în continuare două definiţii echivalente ale noţiunii de...
CAPITOLUL 1 ALGEBRE ŞI COALGEBRE 1.1 Algebre şi module Fie k un corp comutativ. Vom da în continuare două definiţii echivalente ale noţiunii de...
APLICATIA APLICATII ALGEBRICE – ALGORITMI COMBINATORIALI I. INSTRUCTIUNI TURBO PASCAL Sunt urmatoarele: - Instructiunea de atribuire -...
ALGEBRĂ LINIARĂ CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE §1. Spaţii vectoriale Spaţiul vectorial este una din cele mai importante structuri matematice,...
CAPITOLUL 3 MODELAREA SISTEMELOR DINAMICE CU EVENIMENTE DISCRETE UTILIZÂND ALGEBRA (max, +) 3.1 Introducere În acest capitol vom prezenta...
Algebra relaţională deseori e concepută ca un limbaj abstract de formulare a interpelărilor (cererilor) sau ca o colecţie de operaţii pe relaţii...