Generarea Curbelor Plane

INTRODUCERE

Prezenta lucrare de licenţă cu titlul “GENERAREA CURBELOR PLANE” face parte din geometria diferenţială.

Lucrarea este structurată în patru capitole astfel:

Capitolul 1 tratează reprezentarea grafică a funcţiilor făcându-se referire la: ecuaţiile unei curbe plane, curbe date parametric, curbe în coordonate polare.

Capitolul 2 tratează unele curbe uzuale, cum ar fi: lănţişorul, tractricea, cicloida, epicicloida, hipocicloida precum şi spirala lui Arhimede, spirala hiperbolică şi spirala logaritmică.

Capitolul 3 dezbate probleme legate de tangenta unei curbe cu subpunctele: tangentă şi normală, lungimea arcului de curbă, curbură, evoluta şi evolventa, contactul curbelor, puncte singulare şi înfăşurătoarea unei familii de curbe.

Capitolul 4 prezintă rezolvarea unor exerciţii şi aplicaţii din capitolele susmenţionate.

CAPITOLUL 1. REPREZENTAREA GRAFICĂ A FUNCŢIILOR

1.1. ECUAŢIILE UNEI CURBE PLANE

Geometria diferenţială este acea disciplină matematică, care studiază proprietăţile curbelor şi suprafeţelor cu metodele calcului diferenţial. De aceea, pentru a putea aplica aceste metode trebuie să precizăm mai întâi acele condiţii care se impun pentru ecuaţiile acestor elemente geometrice.

Dacă între punctele unei submulţimi ale planului şi valorilor unui parametru t dintr-un interval (α,β) putem stabili o corespondenţă biunivocă prin nişte funcţii:

x=x(t) y=y(t) (1)

unde x(t) şi y(t) sunt funcţii cu derivate continue în intervalul (α,β) până la ordinul n inclusiv, vom spune că punctele submulţimii definesc în intervalul (α,β) un arc simplu de curbă de n ori derivabil. Dacă în punctele acestui arc x^('^2 )+y^('^2 )≠0 vom spune că arcul este regulat. Punctele în care x^'=y^'=0 se numesc singulare. Deci un arc regulat nu conţine puncte singulare.

Să presupunem că pe un arc regulat avem x^'≠0. Atunci funcţia x=x(t) se poate inversa t=t(x). Înlocuind această valoare în a doua ecuaţie din relaţia (1) vom avea ecuaţia explicită a arcului de curbă:

y=f(x) (2)

Un arc de curbă se poate defini şi printr-o ecuaţie implicită:

F(x,y)= 0 (3)

unde F este continuă şi are derivate parţiale continue până la ordinul n, într-un anumit domeniu şi F_x^2+F_y^2≠0.

1.2. CURBE DATE PARAMETRIC

Fie ecuaţiile parametrice ale unei curbe:

{(x=x(t)@y=y(t) )┤ (4)

Presupunem că funcţiile x(t), y(t) sunt definite într-un interval finit sau infinit şi au derivate de toate ordinele care intervin în raţionamente. Ne propunem să reprezentăm grafic această curbă.

În această problemă ne vom ghida după metodele învăţate în liceu pentru reprezentarea curbelor explicite y=f(x).

Se cunoaşte, că în legătură cu această reprezentare trebuie să rezolvăm trei probleme principale:

Determinarea intervalelor de monotonie ale funcţiei y=f(x) şi strâns legată de aceasta determinarea extremelor funcţiei (adică determinarea acelor puncte care separă intervalele de monotonie ale funcţiei).

Determinarea intervalelor de concavitate şi convexitate ale funcţiei şi strâns legat de aceasta determinarea punctelor de inflexiune (adică determinarea acelor puncte, care separă intervalele de concavitate şi convexitate ale funcţiei).

Determinarea asimptotelor. Ştim că în cazul asimptotelor paralele cu axa Oy funcţia f(x) (deci ordonata unui punct variabil de pe curbă) trebuie să tindă la ±∞, dacă x tinde spre un număr x=x_0. În acest caz ecuaţia asimptotei va fi y=y_0.

În sfârşit, pentru a avea asimptotă oblică trebuie ca atât x cât şi y să tindă

spre infinit. Dacă această condiţie este îndeplinită se caută limita lui (f(x))/x, când x tinde spre +∞ sau -∞. Dacă această limită există ea ne va da coeficientul unghiular m al direcţiei asimptotice. După aceea se calculează limita diferenţei f(x)-mx, când x tinde spre +∞ sau -∞. Dacă această limită există şi este b, curba are o asimptotă oblică: