Extras din curs
a). Problema brahistocronei. Un punct material porneşte din O(0,0) fără viteză
iniţială şi se mişcă sub acţiunea gravităţii pe un arc de curbă OA cuprins într-un plan
vertical. Se cere arcul de curbă pe care mobilul ajunge din O în A(x1,y1) în timpul
cel mai scurt.
Considerând axa Oy dirijată după
verticală în jos, viteza mobilului în fiecare
punct al arcului OA este
2 g y
dt
V = ds = ,
g fiind acceleraţia gravităţii. Timpul în
care mobilul descrie arcul OA va fi dat de integrala curbilinie
= ∫ =∫
OA OA 2 gy
ds
V
T ds . (1)
Fie
y = y(x), x∈[0,x1] ,
ecuaţia a arcului OA. Integrala (1) se mai poate scrie
∫ +
= x1
0
2
dx
2 gy
1 y'
T . (1’)
Avem de determinat arcul OA, cu extremităţile date, pe care integrala (1) este
minimă. Cu alte cuvinte se cere funcţia y(x) care satisface condiţiile
y(0) = 0, y(x1) = y1
138 Calculul variaţional -6
Γ
Δ
şi care minimalizează integrala (1’).
b). Problema geodezicelor. Dintre toate arcele de curbă trasate pe o suprafaţă S
care unesc două puncte A şi B de pe suprafaţă, să se determine arcul care are lungimea
minimă.
Fie
F(x,y,z) = 0 (2)
ecuaţia suprafeţei S şi A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2) cele două puncte de pe suprafaţă. Dacă
y = y(x), z = z(x); x ∈[x1,x2]
sunt ecuaţiile unui arc de curbă trasat pe suprafaţă care uneşte cele două puncte A şi B,
funcţiile y(x), z(x) verifică ecuaţia suprafeţei şi satisfac condiţiile
y(x1) = y1 , y(x2) = y2 ; z(x1) = z1 , z(x2) = z2. (3)
Lungimea arcului AB este
= ∫ + ′ + ′ 2
1
x
x
L 1 y 2 z 2 dx . (4)
Problema se poate formula astfel: Se cer funcţiile y(x) şi z(x), legate prin relaţia
(2), care satisfac condiţiile la limită (3) şi minimalizează integrala (4).
c). Problema suprafeţelor minime (Plateau). Dată fiind o curbă simplă închisă C,
situată în spaţiul cu trei dimensiuni, se cere să se determine suprafaţa deschisă S
mărginită de această curbă care are aria minimă.
Să presupunem că proiecţia Γ a curbei C pe
planul xOy este tot o curbă simplă de ecuaţie
ϕ(x,y) = 0 şi că domeniul mărginit Δ din planul xOy,
având frontiera Γ , este proiecţia suprafeţei S pe acest
plan.
Fie
z = z(x,y);
M(x,
Preview document
Conținut arhivă zip
- Calcul Variational.pdf