Extras din curs
a). Problema brahistocronei. Un punct material porneşte din O(0,0) fără viteză
iniţială şi se mişcă sub acţiunea gravităţii pe un arc de curbă OA cuprins într-un plan
vertical. Se cere arcul de curbă pe care mobilul ajunge din O în A(x1,y1) în timpul
cel mai scurt.
Considerând axa Oy dirijată după
verticală în jos, viteza mobilului în fiecare
punct al arcului OA este
2 g y
dt
V = ds = ,
g fiind acceleraţia gravităţii. Timpul în
care mobilul descrie arcul OA va fi dat de integrala curbilinie
= ∫ =∫
OA OA 2 gy
ds
V
T ds . (1)
Fie
y = y(x), x∈[0,x1] ,
ecuaţia a arcului OA. Integrala (1) se mai poate scrie
∫ +
= x1
0
2
dx
2 gy
1 y'
T . (1’)
Avem de determinat arcul OA, cu extremităţile date, pe care integrala (1) este
minimă. Cu alte cuvinte se cere funcţia y(x) care satisface condiţiile
y(0) = 0, y(x1) = y1
138 Calculul variaţional -6
Γ
Δ
şi care minimalizează integrala (1’).
b). Problema geodezicelor. Dintre toate arcele de curbă trasate pe o suprafaţă S
care unesc două puncte A şi B de pe suprafaţă, să se determine arcul care are lungimea
minimă.
Fie
F(x,y,z) = 0 (2)
ecuaţia suprafeţei S şi A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2) cele două puncte de pe suprafaţă. Dacă
y = y(x), z = z(x); x ∈[x1,x2]
sunt ecuaţiile unui arc de curbă trasat pe suprafaţă care uneşte cele două puncte A şi B,
funcţiile y(x), z(x) verifică ecuaţia suprafeţei şi satisfac condiţiile
y(x1) = y1 , y(x2) = y2 ; z(x1) = z1 , z(x2) = z2. (3)
Lungimea arcului AB este
= ∫ + ′ + ′ 2
1
x
x
L 1 y 2 z 2 dx . (4)
Problema se poate formula astfel: Se cer funcţiile y(x) şi z(x), legate prin relaţia
(2), care satisfac condiţiile la limită (3) şi minimalizează integrala (4).
c). Problema suprafeţelor minime (Plateau). Dată fiind o curbă simplă închisă C,
situată în spaţiul cu trei dimensiuni, se cere să se determine suprafaţa deschisă S
mărginită de această curbă care are aria minimă.
Să presupunem că proiecţia Γ a curbei C pe
planul xOy este tot o curbă simplă de ecuaţie
ϕ(x,y) = 0 şi că domeniul mărginit Δ din planul xOy,
având frontiera Γ , este proiecţia suprafeţei S pe acest
plan.
Fie
z = z(x,y);
M(x,
Preview document
Conținut arhivă zip
- Calcul Variational.pdf
Alții au mai descărcat și
1. Complemente de geometrie si metode de aproximare 1.1. Spatii vectoriale. Spatii afine. Fie N - multimea numerelor naturale, Z - multimea...
OBIECTUL MATEMATICILOR FINANCIARE (INTRODUCERE) Direct sau indirect, imediat sau dupa un anumit timp, eforturile si efectele unei activitati...
Câmp de evenimente. Probabilitate 1. Câmp de evenimente Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueaza fenomenele aleatoare. Vom...
FUNCT¸ II COMPLEXE 1.1 Mult¸imea numerelor complexe Mult¸imea numerelor complexe a apØarut din ˆincercarea de a extinde mult¸imea numerelor...
Numere aproximative. Erori a) Sursele si clasificarea erorilor. În rezolvarea numerica a unei probleme deosebim - în general - trei feluri de...
7.3. Conceptul de probabilitate Pentru masurarea sanselor de realizare a unui eveniment aleator s-a introdus notiunea de probabilitate. Sunt...
Capitolul 1 Diferente finite 1.1 Diferente finite Diferentele finite stau la baza multor metode de calcul numeric privind integrarea si...
Te-ar putea interesa și
MEMORIU JUSTICATIV În acestă eră a vitezei, a tehnologiei, a cercetărilor, a experimentelor omul și-a extins limitele până la extreme, iar de aici...
1. Rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor eliptice liniare 1.1. Teorema proiectiilor În acest paragraf, demonstrăm o teoremă foarte simplă,...
Memoriu Justificativ Rãspândirea sistemului trifazat a fãcut ca, în acționãrile electrice de curent alternativ, mașinile asincrone sã fie...
1.Functii Analitice.Relatiile Couchy-Rieman Fie E o multime de nr. C f o functie (univoca) definite pe E (f:E) zoÌE Spunem ca f are limita...
Funcţii convexe joacă un rol important în aproape toate ramurile matematicii, precum şi alte domenii ale ştiinţei şi ingineriei. Noţiunea de...
1. Probleme de calcul variaţional cu derivate de ordin superior Fie . Se caută o funcţie u, definită pe intervalul [x0,x1], care extremizează...
Introducere Studierea problemelor economice cu ajutorul matematicei, prin construirea modelelor matematice ale unor fenomene, procese si situatii...
Capitolul I FUNCŢII COMPLEXE 1. Să se determine funcţia olomorfă f(z) ştiind că partea reală a sa u(x,y)=ln(x2+y2) şi f(1)=0. Soluţie:...