Ecuații

1. Introducere în teoria ecuaţiilor diferenţiale ordinare Fie y(x) o funcţie de variabila independent x. Notăm prin y’, y’’,…, y(n) derivatele succesive ale lui y în raport cu x. Orice relaţie de egalitate care conţine cel puţin una din aceste derivate se numeşte ecuaţie diferenţială ordinară. Observaţia 1. Termenul ,,ordinar” distinge ecuaţiile diferenţiale ordinare de cele cu derivate parţiale care conţin două sau mai multe variabile independente, o funcţie de aceste variabile şi derivatele parţiale corespunzătoare. Deoarece în acest curs vom studia numai ecuaţiile diferenţiale ordinare, le vom spune simplu ecuaţii diferenţiale. Definiţia 1. O relaţie de forma F(x,y,y’,…,y(n)) = 0, (1) unde F : D Rn+2 R, se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n. Observaţia 2. Ordinul unei ecuaţii diferenţiale este dat de derivata de cel mai mare ordin pe care o conţine. Relaţia (1) se numeşte forma generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n. În plus, dacă ecuaţia (1) se poate rezolva în raport cu y(n), adică y(n) = f(x,y,y’,…,y(n-1)) (2) unde f :  Rn+1 R, atunci relaţia (2) se numeşte forma normală a ecuaţiei diferenţiale de ordinul n.

Exemple.

y(4) - x2y(3) + 4xy’’ – 3y’ + 2xy - ex = 0 este o ecuaţie diferenţială de ordinul 4, sub formă generală. Explicitând pe y(4), obţinem forma normală y(4) = x2y(3) - 4xy’’ + 3y’ - 2xy + ex .

Tema.

Precizaţi ordinul ecuaţiei diferenţiale (y’)2 – xy’ + y = 0.

În continuare, ne propunem să rezolvăm ecuaţia diferenţială (1), adică să determinăm soluţia acesteia. Definiţia 2. Funcţia  : I R R,   Cn(I), se numeşte soluţie a ecuaţiei (1) dacă F(x, (x), ’ (x),…, (n) (x)) = 0 ,  x  I.

Definiţia 3. Funcţia y =  (x, c1, c2, …, cn) care verifică (1) în raport cu x, pentru orice valori c1,

c2, …, cn, se numeşte soluţie generală a ecuaţiei (1).

Prin particularizarea constantelor c1, c2, …, cn , numite constante de integrare, din soluţia

generală, se obţine o soluţie particulară. Orice soluţie care nu poate fi dedusă din soluţia

generală se numeşte soluţie singulară.

Exemple. 1. Ecuaţia (y’)2 – xy’ + y = 0 admite soluţia generală y(x) = cx – c2, care din

punct de vedere geometric reprezintă o familie de drepte şi orice soluţie

particulară se obţine prin particularizarea lui c. Spre exemplu, pentru c = 1 se

obţine soluţia particulară y = x – 1. În plus, ecuaţia admite soluţia singulară

4

2

x

y  care geometric, reprezintă o parabolă.

2. Integrând direct ecuaţia diferenţială y’ = x sau x

dx

dy

 se obţine

c

x

y x  

2

( )

2

. Deci, soluţia generală a acestei ecuaţii este dată de o familie de

parabole. Se extrage o parabolă din familie impunând acesteia să treacă printr-un

punct din plan, spre exemplu A(0,1), adică y(0) = 1. Astfel constanta c capătă

valoarea concretă c = 1 şi corespunzător ei, soluţia particulară 1

3. y = excosx este soluţie a ecuaţiei y’’ - 2y’ + 2y = 0. Într-adevăr,

y’ = ex(cosx - sinx)

y’’ = -2exsinx

care înlocuite în ecuaţia dată, o verifică identic

-2exsinx - 2ex(cosx - sinx) + excosx = 0.

Tema. Verificaţi dacă y = 2ex + 3xex este soluţie a ecuaţiei y’’ + 3y’ + 2y = 0.

Condiţiile suplimentare care se impun pentru determinarea constantelor de integrare se

numesc condiţii iniţiale sau condiţii Cauchy.

Definiţia 4. Se numeşte problemă Cauchy relativă la ecuaţia (2) ansamblul format din ecuaţia

diferenţială (2) cu condiţiile iniţiale

şi constă în determinarea unei soluţii particulare care verifică condiţiile iniţiale, unde x0, y0, y1,

…, yn-1 sunt numere date.

Deci, problema Cauchy pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul n este