Extras din curs
Fie f(t) o functie reala sau complexa definita pe toata axa reala. Daca f(t) este neperiodica atunci nu mai poate fi dezvoltata in serie Fourier, in schimb, in anumite conditii, care vor fi precizate mai jos, ea poate fi reprezentata printr-o integrala dubla improprie care prezinta o oarecare analogie cu seria Fourier.
Pornind de la forma complexa a seriei Fourier se poate demonstra urmatorul rezultat central din acest capitol numit teorema de reprezentare a unei functii prin integrala Fourier.
Fie . Presupunem ca:
- f satisface conditiile lui Dirichlet in orice interval de lungime finita;
- in ficare punct c de discontinuitate valoarea functiei este egala cu media aritmetica a limitelor laterale in acel punct, ;
- f este absolut integrabila pe , adica converge.
Atunci are loc urmatoarea reprezentare pentru f:
numita si formula lui Fourier iar membrul drept al acesteia se numeste integrala lui Fourier.
Forma reala a integralei Fourier
Folosind faptul ca formula lui Fourier devine:
.
Sa observam ca functiile:
,
au proprietatile: si . Rezulta:
si .
Prin urmare, obtinem reprezentarea:
,
numita forma reala a integralei Fourier.
Analogia cu seria Fourier
Pornind de la forma reala a integralei Fourier sa dezvoltam pe :
.
Obtinem:
.
Daca notam:
,
rezulta:
.
Pe aceasta forma de reprezentare se vede analogia cu seria Fourier.
Reprezentari in cazul functiilor pare si impare
Folosind ultima reprezentare observam ca:
- daca f este para, atunci si prin urmare:
;
- daca f este impara, atunci si rezulta:
.
Transformata Fourier
In conditiile teoremei de reprezentare a unei functii prin integrala Fourier, in formula:
,
sa notam cu
.
Rezulta
Preview document
Conținut arhivă zip
- Integrala Fourier.doc
Alții au mai descărcat și
INTRODUCERE Notiunea de transformare integralÎ Fie K(x, y) o functie continuÎ de douÎ variabile reale, K: I U fixatÎ, unde I este un interval pe...
Introducere Una din notiunile fundamentale ale analizei matematice si în fond a în- tregii stiinte, este cea de derivata, atribuita lui G....
1. Complemente de geometrie si metode de aproximare 1.1. Spatii vectoriale. Spatii afine. Fie N - multimea numerelor naturale, Z - multimea...
OBIECTUL MATEMATICILOR FINANCIARE (INTRODUCERE) Direct sau indirect, imediat sau dupa un anumit timp, eforturile si efectele unei activitati...
Câmp de evenimente. Probabilitate 1. Câmp de evenimente Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueaza fenomenele aleatoare. Vom...
FUNCT¸ II COMPLEXE 1.1 Mult¸imea numerelor complexe Mult¸imea numerelor complexe a apØarut din ˆincercarea de a extinde mult¸imea numerelor...
Numere aproximative. Erori a) Sursele si clasificarea erorilor. În rezolvarea numerica a unei probleme deosebim - în general - trei feluri de...
Te-ar putea interesa și
INTRODUCERE Notiunea de transformare integralÎ Fie K(x, y) o functie continuÎ de douÎ variabile reale, K: I U fixatÎ, unde I este un interval pe...
Cap. 1. INTRODUCERE Oscilaţiile prezintă o importanţă covârşitoare pentru fizică şi tehnică, iar dintre ele cele simple, sinusoidale au rol...
Analiz ă dimensională Orice mărime fizică are o dimensiune care se exprimă cu ajutorul mărimilor fundamentale care apar în expresia acesteia....
CAPITOLUL I SURSE DE SEMNAL Comunicaţiile au un spectru extrem de larg, semnalele transmise prin sistemele de comunicaţii reprezentând...
TRANSMISIA DIGITALÍ A SEMNALELOR ANALOGICE În general, în transmisiile la distanta semnalul emis este atenuat si distorsionat de canalul de...
1. Obiectivul lucrării În această lucrare se studiază analiza semnalelor periodice cu ajutorul seriilor Fourier. 2. Introducere teoretică 2.1....