Extras din curs
R[a,b].
4. Monotonia integralei Riemann. Dac˘a f (x) ≤ g (x), (∀) x ∈ [a, b]
¸si f, g ∈ R[a,b], atunci
R b
a f (x) dx ≤
R b
a g (x) dx.
5. Dac˘a f ∈ R[a,b], atunci |f (x)| ∈ R[a,b] ¸si
¯¯¯
R b
a f (x) dx
¯¯¯
≤
R b
a |f (x)| dx.
6. Prima teorem˘a de medie. Dac˘a f ∈ R[a,b], atunci
m (b − a) ≤
R b
a f (x) dx ≤ M (b − a),
unde m = inf {f (x) | x ∈ [a, b]}, M = sup{f (x) | x ∈ [a, b]} .
Dac˘a f ∈ C[a,b], atunci exist˘a cel pu¸tin un punct c ∈ [a, b] astfel încât
R b
a f (x) dx = (b − a) f (c) .
7. A doua teorem˘a de medie. Dac˘a f ∈ R[a,b] ¸si g ∈ F[a,b] este
monoton˘a , atunci exist˘a c ∈ [a, b] astfel încât
R b
a f (x) g (x) dx = g (a)
R c
a f (x) dx + g (b)
R b
c f (x) dx.
8. Aditivitatea în raport cu intervalul. Dac˘a f ∈ R[a,b] ¸si c ∈ (a, b),
atunci f ∈ R[a,c], f ∈ R[c,b] ¸si
R b
a f (x) dx =
R c
a f (x) dx +
R b
c f (x) dx.
9. Teorema lui Barrow. Dac˘a f ∈ C[a,b], atunci func¸tia
F : [a, b] → R, F (x) =
R x
a f (t) dt,
este derivabil˘a ¸si F 0 (x) = f (x), (∀) x ∈ [a, b].
10. Integrarea prin p˘ar¸ti. Dac˘a u, v ∈ C1
[a,b], atunci
R b
a u (x) v0 (x) dx = u (x) v (x)|b
a −
R b
a u0 (x) v (x) dx.
11. Prima formul˘a de schimbare de variabil˘a. Dac˘a f ∈ C[a,b] ¸si
u : [c, d] → [a, b] este de clas˘a C1 pe [c, d] , atunci
R d
c f (u (x)) u0 (x) dx =
R u(d)
u(c) f (t) dt.
1.1. OBSERVA ¸ TII ASUPRA INTEGRALEI RIEMANN 3
12. A doua formul˘a de schimbare de variabil˘a. Dac˘a f ∈ C[a,b] ¸si
ϕ : [c, d] → [a, b] este de clas˘a C1 pe [c, d] ¸si strict monoton˘a pe [c, d] , atunci
R ϕ(d)
ϕ(c) f (x) dx =
R d
c f (ϕ (t)) ϕ0 (t) dt,
unde ϕ (c) = a, ϕ (d) = b.
Defini¸tia 1. Omul¸time A ⊂ R se nume¸ste de m˘asur˘a Lebesgue nul˘a
(sau neglijabil˘a în sens Lebesgue) ¸si not˘am acasta prin m(A) = 0, dac˘a
(∀) ε ∈ (0, ∞) (∃) {[an, bn]}n∈N∗ , , astfel încât:
a)
P
n
(bn − an) =conv. ¸si ∞P
n=1
(bn − an) ≤ ε, b) A ⊂
S
n∈N∗
[an, bn] .
Defini¸tia 2. Spunem c˘a o propozi¸tie P (a) , care depinde de a ∈ A,
este adev˘arat˘a aproape peste tot (a.p.t.) în A, dac˘a mul¸timea punctelor
unde ea nu este adev˘arat˘a, B = {a/P (a) nu este adev˘arat˘a}, are m˘asura
Lebesgue nul˘a, m(B) = 0.
Teorema 1. (Propriet˘a¸tile mul¸timilor de m˘asur˘a nul˘a)
1) m(∅) = 0,
2) A = {a} ⇒ m(A) = 0,
3) m(A) = m(B) = 0 ⇒ m(A ∩ B) = 0 ¸si m(A ∪ B) = 0,
4) m(Ak) = 0, k ∈ N∗, ⇒ m
Ã
[
k∈N∗
Ak
!
= 0 ¸si m
Ã
k∈N∗
Ak
!
= 0,
5) m(A) = 0 ⇒ m(a + A) = 0, (∀) a ∈ R,
6) Dac˘a A este finit˘a sau num˘arabil˘a atunci m(A) = 0,
7) Dac˘a A ⊂ B ¸si m(B) = 0 atunci m(A) = 0.
Demonstra¸tie. 1) Evident˘a.
2) Pentru (∀) ε ∈ (0, ∞) , (∃) [an, bn], n ∈ N∗, definit prin
an =
½
a − ε
2 , pentru n = 1
0 pentru n > 1
, bn =
½
a + ε
2 , pentru n = 1
0 pentru n > 1
astfel încât
A = {a} ⊂
S
n∈N∗ [an, bn] = [a1, b1] =
£
a − ε
2 , a + ε
2
¤
,
∞P
n=1
(bn − an) = b1 − a1 = a + ε
2 − a + ε
2 ≤ ε,
Preview document
Conținut arhivă zip
- Analiza Matematica
- BIBLIOGRAFIE.pdf
- cap 1.pdf
- cap 2.pdf
- cap 3.pdf
- cap 4.pdf
- cap 5.pdf