Prelucrarea numerică a semnalelor - ferestre și ferestruire

Ferestre şi ferestruire

În prelucrarea semnalelor sunt numeroase situaţiile în care este necesară trunchierea unui semnal, de durată infinită sau foarte mare, la un semnal de durată finită. Un exemplu semnificativ este calculul numeric, pe calculator, al transformatei Fourier: calculatorul poate prelucra doar semnale de durată finită.

Trunchierea unui semnal la un interval finit revine la multiplicarea cu fereastra dreptunghiulară , definită de:

Formal, în limbajul analizei matematice, vom avea:

unde este funcţia caracteristică a mulţimii , definită prin:

Semnalul trunchiat se scrie sub forma:

În mod asemănător poate fi realizată trunchierea unui semnal de frecvenţă pentru a realiza calculul transformatei Fourier inverse.

Mediul Matlab oferă posibilitatea proiectării şi analizării ferestrelor prin intermediul domeniului Window Design&Analysis Tool. Astfel creearea unei ferestre, sub acest domeniu se poate face utilizînd comanda wintool. În urma execuţiei acestei comenzi se va obţine următoarea fereastră

Se poate observa că wintool este format din trei părţi:

1) Window Viewer – plotează reprezentările în domeniul timp, respectiv frecvenţă pentru diverse tipuri de ferestre. Pentru fiecare fereastră se fac următoarele specificaţii:

- factorul de pierdere;

- factorul de atenuare relativă a lobilor laterali;

- lobul principal.

2) Window List – specifică numele ferestrelor cu care se lucrează.

3) Current Window – oferă informaţii cu privire la fereastra curentă

În funcţie de modelul matematic ferestrele sunt de mai multe categorii. Mediul Matlab oferă posibilitatea analizării unei game vaste de astfel de ferestre, dar în continuare vor fi prezentate numai cele mai utilizate tipuri de astfel de ferestre.

1) Fereastra dreptunghiulară

- este cea mai des utilizată fereastră şi pe baza noţiunilor teoretice oferite de cadrul

analizei acestor tipuri de ferestre s-au putut dezvolta alte modele.

O fereastră dreptunghiulară se poate crea, sub mediul prezentat anterior cu ajutorul comenzii:

w = rectwin(n)

Funcţia utilizată returnează o fereastră dreptunghiulară de lungime n , în vectorul coloană w. Ca soluţie alternativă se poate utiliza şi comanda

w = ones(n,1)

rezultatul astfel obţinut fiind identic.

Pentru exemplificare, se va prezenta în cele ce urmează crearea unei ferestre dreptungiulare de dimensiune 64 (n=64) şi vizualizarea rezultatului cu ajutorul comenzii wvtool.

n=64;

w=wvtool(rectwin(n))

2) Fereastra Hamming

Se poate obţine utilizînd comanda

w = hamming(n)

care returnează cele n puncte ale ferestrei Hamming în vectorul w. Coeficienţii ferestrei Hamming sunt calculaţi pe baza relaţiei următoare:

Exemplu:

Crearea unei ferestre Hamming pentru care n=16 şi afişarea rezultatului în wvtool:

n=16;

w=hamming(n);

wvtool(w)

3) Fereastra Hann

Sintaxa:

w=hann(n);

returnează cele n puncte ale ferestrei Hann în vectorul coloană w. Coeficienţii ferestrei Hann sunt calculaţi din următoarea ecuaţie:

Exemplu:

Crearea unei ferestre Hann pentru n=16 şi afişarea rezultatului în wvtool

n=16;

w=hann(n);

wvtool(w)

4) Fereastra triunghiulară

Sintaxa:

w=triang(n);

returnează cele n puncte ale ferestrei triunghiulare în vectorul coloană w. Coeficienţii ferestrei triunghiulare sunt:

pentru n impar

pentru n par

Exemplu

Crearea unei ferestre triunghiulare pentru n=16 şi afişarea rezultatului utilizând wvtool

n=16;

w=triang(n);

wvtool(w)