Comunicații digitale

1. Sisteme de numeraţie

Definitie: prin sistem de numeratie se intelege un ansamblu de reguli, care precizeaza modul de folosire

a unor simboluri, pentru reprezentarea unor numere, oricat de mari sau oricat de mici.

Caracteristicile unui sistem de numeratie sunt:

- baza sistemului de numeratie, notata cu b, b>=2; b numar natural;

- multimea simbolurilor folosite la reprezentarea numerelor, continand b simboluri, numerele

naturale mai mici decat b: {0, 1, 2, ….b-1}.

Exemple:

a) sistemul zecimal: b=10, {0, 1, 2, ..9};

b) sistemul binar: b=2, {0, 1};

c) sistemul hexazecimal: b=16, {0, 1, …9, A, B, C, D, E, F}.

Prin conventie, un numar este reprezentat printr-un sir de digit-i (cifre), cu cel mai semnificativ digit in

stanga si cel mai putin semnificativ digit in dreapta. Pozitia fiecarui digit cuprinde unul din simbolurile bazei in

care este reprezentat numarul respectiv. Valoarea bazei este trecuta, ca indice, in partea dreapta – jos a sirului.

Cu cat valoarea bazei, de reprezentare a unui numar, este mai mica, cu atat sirul va avea un numar de

digit-i mai mare.

Exemplu: 17510 = AF16 = 101011112

Orice numar, reprezentat in orice baza, poate fi exprimat in sistemul zecimal sub forma unui polinom,

dupa urmatoarea formula:

2. Conversia unui număr dintr-un sistem de numeraţie în altul

A. Conversia numerelor intregi: se realizeaza printr-un proces iterativ de impartire a numarului ce

urmeaza a fi convertit la noua baza. Resturile obtinute in fiecare iteratie reprezinta cifrele numarului reprezentat

in noua baza. Cel mai semnificativ digit este partea intreaga din ultima iteratie, iar cel mai putin semnificativ

digit este restul obtinut in prima iteratie.

Fie N ∈ Z si fie p n n p N (a a ...a a ) −1 1 0 = si q m m q N (b b ...b ) −1 0 = reprezentarile numarului N in baza p si

respectiv in baza q.

Prin identificare, din (1) si (2) ⇒ 0 0 r = b , deci restul obtinut la prima iteratie de impartire este 0 b adica

cel mai semnificativ digit al numarului in noua baza.

Comunicaţii de date

- 2 -

Noua iteratie va lua doar partea intreaga 0

p N si respectiv m m q (b b ...b ) −1 1 si prin impartire la q ⇒ 1 b

s.a.m.d. La ultima iteratie se vor obtine, pe de o parte

Exemplu:

Dorim conversia numarului 10 143 in baza 2

10 2 ⇒ 143 = (10001111)

B. Conversia numerelor subunitare: se realizeaza printr-un proces iterativ de inmultire a numarului

reprezentat initial cu noua baza. Partea intreaga care se obtine la fiecare iteratie j este cifra de rang b− j din noua

reprezentare.

Fie N ∈ (0,1) si fie p n p N (0,a ...a ) −1 − = si q m q N (0,b ...b ) −1 − = reprezentarile numarului N in baza p si

respectiv in baza q.

− ⇒ = p b N , deci partea intreaga obtinuta la prima iteratie este cifra de

rang b−1 din noua reprezentare. Noua iteratie va lua doar partea fractionara si, prin inmultire cu q si identificare,

vor rezulta m b b− − ,... 2 .

Observatie: in timp ce numerele intregi se convertesc exact in orice sistem de numeratie, la numerele

fractionare pot apare situatii cand conversia produce o reprezentare periodica.

Exemple:

a) dorim conversia numarului 10 (0,125) in baza 2

10 2 ⇒ (0,125) = (0,0010)

b) dorim conversia numarului 10 (0,2) in baza 2

0,2*2=0,4*2=0,8*2=1,6 0,6*2=1,2 0,2*2=0,4 …… (0,2) 0,00110011... 10 ⇒ =