Semnale Discrete și Sisteme Discrete Liniare

Scopul lucrării: Studierea diferitor forme de descriere matematică şi particularităţile semnalelor discrete şi a sistemelor, care sunt baza teoretică a sistemelor de prelucrare numerică a semnalelor. Se studiază metodele de descriere în domeniul de timp, domeniul de frecvenţă şi domeniul planului complex.

7.2. Îndrumări metodice

7.2.1. Noţiuni generale. Descrieri scurte a noţiunilor de bază.

Semnalele discrete (semnale în timp discret) se determină în momente de timp discrete şi se prezintă ca o secvenţă de numere. În general, variabila t poate fi continuă sau discretă ; amplitudinea semnalului deasemenea poate să fie atât continuă cît şi discretă. În continuare sub denumirea de discrete vom înţelege semnalele care sunt discrete după timp, dar continue după amplitudine. O subclasă a semnalelor discrete sunt semnalele numerice, la care sunt discrete atât timpul, cît şi amplitudinea.

Sistemele de prelucrare a semnalelor se pot clasifica la fel ca şi semnalele. Sistemele discrete (sistemele în timp discret) sunt sisteme la care la intrare şi ieşire avem semnale discrete, iar sistemele numerice sunt sisteme cu semnale numerice la intrare şi ieşire. O importanţă mare are clasa sistemelor discrete liniare invariante la deplasare în timp. Anume aşa sisteme vom studia în continuare.

Sistemul se prezintă matematic ca un operator, care transformă secvenţa de intrare x(n) (intrarea) în cea de ieşire y(n),ceea ce matematic se reprezintă în modul următor:

y(n)=T[x(n)]

iar grafic se reprezintă ca în fig.1:

Fig.1.Reprezentarea grafică a unui sistem discret.

În caz general o secvenţă oarecare x(n) se scrie în forma:

x(n)=

Clasa sistemelor liniare se determină prin principiul superpoziţiei:

T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]=ay1(n)+by2(n)

Sistemul liniar poate să fie caracterizat complet cu răspunsul h(n) la impulsul unitar (n). Clasa sistemelor invariante în timp au următoarea particularitate:

Dacă y(n) este răspunsul la x(n), atunci y(n-k) va fi răspunsul la semnalul întârziat x(n-k). Corespunzător, dacă h(n) este răspunsul la (n), atunci răspunsul la (n-k) va fi h(n-k). Pentru asemenea sisteme răspunsul y(n) la o secvenţă arbitrară la intrare x(n), poate fi prezentat sub forma de aşa numita convoluţie liniară.

y(n)=x(n)*h(n)= (1)

Două sisteme liniare invariante discrete (SLID) conectate în cascadă formează SLID cu caracteristică de impuls h(n) egală cu convoluţia răspunsurilor lor iniţiale (Fig.2.):

h(n)=h1(n)*h2(n)

Fig.2. Formarea SLID cu caracteristica de impuls.

SLID se realizează fizic numai atunci când se satisface condiţia de cauzalitate, adică răspunsul nu poate apărea mai devreme ca semnalul să se aplice la intrare. Aceasta se îndeplineşte numai cu condiţia că h(n)=0, pentru n0.

Sistemul se numeşte stabil când semnalul limitat la intrare formează semnal limitat la ieşire. Sa demonstrat că aceasta are loc dacă: .

În multe întrebuinţări un rol principal îl joacă o subclasă a SLID pentru care intrarea x(n) şi ieşirea y(n) satisface ecuaţia cu diferenţe finite cu coeficienţi constanţi de tipul:

y(n-k)= x(n-k) (2)

Dacă sistemul este realizabil fizic, atunci egalitatea (2) dă o corespondenţă între intrare şi ieşire de tipul:

y(n)=- + (3)

Adică valoarea necesară la ieşire se poate calcula ştiind valoarea la intrare, şi corespunzător N şi M a valorilor de intrare şi ieşire precedente. Ca şi în cazul convoluţiei ecuaţia cu diferenţe finite nu dă numai o descriere teoretică a sistemului, dar poate fi şi baza pentru realizarea sistemului.

În caz general SLID poate avea caracteristică de impuls atât de lungime finită cât şi infinită. Sistemele cu caracteristică de impuls finită se numesc FIR (de la engl. FIR- finite impulse response), iar sistemele cu caracteristică de impuls infinită se numesc IIR (de la engl. IIR-infinite impulse response). Dacă în (3) punem condiţia N=0:

y(n)=(1/a0) (4)

atunci ea corespunde sistemului FIR. Într-adevăr, comparând cu (1) se vede că această ecuaţie coincide cu convoluţia şi prin urmare:

h(n)= Aşadar, egalitatea (3) descrie sistemul IIR dacă N şi sistemul FIR, dacă N=0. Pentru simplificarea scrierii se ia de obicei valoarea normată a0=1. Sistemele şi semnalele discrete pot fi prezentate prin diferite metode, unele din ele au fost prezentate mai sus. Un rol important îl joacă secvenţele exponenţiale sinusoidale şi complexe. Aceasta se explică prin aceea că particularitatea de bază a SLID constă în aceea că în starea dată răspunsul la semnalul sinusoidal de intrare este o sinusoidă cu aceeaşi frecvenţă, amplitudine şi fază determinate de sistem. Fie că secvenţa de intrare este exponentă complexă de frecvenţă unghiulară , x(n)= j n, -n . Atunci, utilizând (1), vom primi semnalul de ieşire y(n) în forma:

unde: (5)

se numeşte caracteristica de frecvenţă a sistemului cu caracteristica de impuls h(n).În caz general H( ) este o funcţie complexă şi poate fi descompusă prin partea sa imaginară şi reală , sau prin modul şi fază . Uneori este mai comod de a aprecia nu faza , dar întârzierea de grup care se determină ca 3=-d d . Fiindcă sinusoida se poate reprezenta ca o combinaţie liniară a exponentelor complexe, caracteristica de frecvenţă arată de asemenea răspunsul la semnalul sinusoidal. Fie de exemplu:

Luând în considerare particularităţile superpoziţiei, răspunsul rezultat este:

unde: 0)-este valoarea caracteristicii fază-frecvenţă a sistemului la frecvenţa 0. Caracteristica de frecvenţă , care pentru simplitate va fi notată în continuare H(j ), este o funcţie continuă şi periodică a frecvenţei , cu perioada 2 .