Extras din proiect
a) Ipoteze de modelare:
i) Pendulul inversat este montat pe un carucior actionat de un motor de curent continuu.
ii) Masa pendulului este concentrata la capatul bastonului.
iii) Bastonul nu are masa.
iiii) Forta u de reglare/control este aplicata caruciorului de masa M (bastonul are lungimea l).
Definim unghiul bastonului cu verticala θ care se presupune mic deoarece vrem sa mentinem pendulul in pozitie verticala.
Definim coordonatele (x,y) ale centrului de greutate ,respectiv (xG,yG) iar in acest caz avem :
(1)
Aplicand legea a-II-a a lui Newton in directia x a miscarii rezulta urmatoarea ecuatie de miscare :
(2)
sau
Ecuatia (3) se rescrie:
(4)
Ecuatia miscarii masei m in directia y (are loc pe un cerc) nu poate fi scrisa fara a considera miscarea masei m in directia x ,din acest motiv in loc de a considera miscarea masei m in directia y, putem si vom considera miscarea de rotatie a masei m in jurul punctului P.
Aplicand legea a II-a a lui Newton la miscarea de rotatie vom obtine :
sau
Relatie care poate fi simplificata dupa cum urmeaza :
dupa simplificari avem :
(5)
Ecuatiile (4) si (5) sunt ecuatii diferentiale neliniare. Deoarece trebuie sa pastram pendulul vertical se presupune ca variatia in timp a unghiului θ : si sunt cantitati mici astfel incat se poate spune ca :
Ecuatiile (4) si (5)se pot liniariza astfel :
(6) si (7)
Aceste ecuatii sunt valabile atat timp cat si sunt mici.
Ecuatiile (6) si (7) definesc un model matematic al pendulului inversat si pentru a obtine o reprezentare in spatiul starilor pot fi modificate astfel:
(8)
si
(9)
Ecuatia (8) s-a obtinut prin eliminarea lui din (6) si (7), iar ecuatia (9) s-a obtinut prin eliminarea lui din (6) si (7).
Definim variabilele de stare x1 , x2, x3, x4 astfel :
(10)
Consideram ca θ si x reprezinta iesirile sistemului(cantitati usor masurabile).
(11)
Utilizand forma matriciala vectoriala standard obtinem :
(12)
(13)
Se utilizeaza metoda plasarii polilor si zerourilor pentru a stabiliza sistemul si pentru a avea caracteristicile dinamice .Se vor substitui valorile numerice date pentru M, m si l in ecuatiile (12) si (13).
Preliminarii
M
Masa caruciorului 2 kg
m Masa pendulului 0.1kg
l Lungimea pana la centrul de greutate al pendulului 0.5 m
u Forta aplicata caruciorului
x Coordonata pozitiei caruciorului
theta ( )
Unghiul facut de pendul cu verticala
20.601
0.4905
Preview document
Conținut arhivă zip
- Pendulul Inversat.doc