Turnurile din Hanoi - Pascal

Capitolul I

NOTIUNI INTRODUCTIVE

Metoda de programare DIVIDE ET IMPERA consta in impartirea problemei initiale de dimensiuni [n] in doua sau mai multe probleme de dimensiuni reduse. In general se executa impartirea in doua subprobleme de dimensiuni aproximativ egale si anume [n/2]. Impartirea in subprobleme are loc pana cand dimensiunea acestora devine suficient de mica pentru a fi rezolvate in mod direct (cazul de baza). Dupa rezolvarea celor doua subprobleme se executa faza de combinare a rezultatelor in vederea rezolvarii intregii probleme.

Metoda DIVIDE ET IMPERA se poate aplica in rezolvarea unei probleme care indeplineste urmatoarele conditii:

se poate descompune in (doua sau mai multe) subprobleme;

aceste suprobleme sunt independente una fata de alta (o subproblema nu se rezolva pe baza alteia si nu se foloseste rezultate celeilalte);

aceste subprobleme sunt similare cu problema initiala;

la randul lor subproblemele se pot descompune (daca este necesar) in alte subprobleme mai simple;

aceste subprobleme simple se pot solutiona imediat prin algoritmul simplificat.

Deoarece putine probleme indeplinesc conditiile de mai sus, aplicarea metodei este destul de rara.

Dupa cum sugereaza si numele «desparte si stapaneste», etapele rezolvarii unei probleme (numita problema initiala) in DIVIDE ET IMPERA sunt :

• descompunerea problemei initiale in subprobleme independente, similare problemei de baza, de dimensiuni mai mici;

• descompunerea treptata a subproblemelor in alte subprobleme din ce in ce mai simple, pana cand se pot rezolva imediat, prin algoritmul simplificat;

• rezolvarea subproblemelor simple;

• combinarea solutiilor gasite pentru construirea solutiilor subproblemelor de dimensiuni din ce in ce mai mari;

• combinarea ultimelor solutii determina obtinerea solutiei problemei initiale .

Metoda DIVIDE ET IMPERA admite o implementare recursiva, deorece subproblemele sunt similare problemei initiale, dar de dimensiuni mai mici.

Principiul fundamental al recursivitatii este autoapelarea unui subprogram cand acesta este activ; ceea ce se intampla la un nivel, se intampla la orice nivel, avand grija sa asiguram conditia de terminare ale apelurilor repetate. Asemanator se intampla si in cazul metodei DIVITE ET IMPERA; la un anumit nivel sunt doua posibilitati:

1. s-a ajuns la o (sub)problema simpla ce admite o rezolvare imediata caz in care se rezolva (sub)problema si se revine din apel (la subproblema anterioara, de dimensiuni mai mari);

2. s-a ajuns la o (sub)problema care nu admite o rezolvare imediata, caz in care o descompunem in doua sau mai multe subprobleme si pentru fiecare din ele se continua apelurile recursive (ale procedurii sau functiei).

In etapa finala a metodei DIVIDE ET IMPERA se produce combinarea subproblemelor (rezolvate deja) prin secventele de revenire din apelurile recursive.

Etapele metodei DIVIDE ET IMPERA (prezentate anterior) se pot reprezenta prin urmatorul subprogram general (procedura sau functie) recursiv exprimat in limbaj natural:

Subprogram DIVIMP (PROB);

Daca PROBLEMA PROB este simpla, atunci se rezolva si se obtine solutia SOL.

Altfel pentru i=1, k executa DIVIMP(PROB) si se obtine SOL1;

Se combina solutiile SOL 1,... ,SOL K si se obtine SOL;

Sfarsit _subprogram;