Distribuția prețului acțiunilor cu volatilitate stocastică

În acest articol, vom studia distribuţia preturilor optiunilor, care apar atunci când preţurile urmeaza un proces de difuzie, cu un parametru de volatilitate stocastic diferit, aşa cum este descris în următoarele două ecuaţii:

(1) şi

(2)

Unde: P - preţul activului

σ - volatilitatea activului

k, μ, δ, şi θ - constante fixe

dzl,dz2 - două procese independente Wiener.

Astfel, modelul este unul în care volatilitatea este guvernata de un proces aritmetic Ornstein-Uhlenbeck (sau AR1), cu o tendinta de a reveni la nivelul θ. Noi folosim tehnici analitice (referitoare la ecuaţia căldurii pentru grupul Heisenberg), pentru a obţine o soluţie de forma închisă pentru distributia preţurilor activelor, în acest caz. Interesul nostru principal în acest sens este de a genera o formula pentru preţul opţiunii care este adecvată pentru cazul în care volatilitatea urmează un proces autoregresiv stocastic. O literatură bogata şi în continuă creştere, a sugerat că acest caz este de relevantă empirica. Deşi literatura empirică de specialitate oferă mai multe modele pentru volatilitatea ce variază în timp, AR1 este doar un exemplu, acest model oferă un punct de plecare pentru noi tipuri de întrebări ce se adresează aici.

Recent, lucrări interesante de Johnson şi Shanno (1987), Peruca-Jin (1987), şi Hull şi White (1987) au examinat, de asemenea, pretul optiunilor într-o lume în care dinamica preţurilor activelor este similara cu cea data de ecuaţiile (1) şi (2). Primele două lucrări folosesc metode de determinare numerică a preţurilor optiunilor. În a treia, Hull şi White rezolva în mod explicit pentru preţul opţiunilor folosind o expansiune Taylor avand k = 0 (de exemplu, despre punctul în care volatilitatea este nonstocastica).

Nu este clar faptul că o astfel de extindere oferă o bună aproximare a preţurilor opţiunilor atunci când k este semnificativ mai mare decât zero. În continuare, Hull şi White aplică această soluţie numai in cazul in care δ =0. (Ei folosesc metode numerice pentru a studia cazul in care δ este diferit de 0).

Deşi soluţia este destul de greoaie, este compusa în întregime din funcţii matematice elementare. Prin urmare,este uşor şi direct aplicat pe un computer. Avem astfel posibilitatea de a evita utilizarea unor metode numerice mai complicate, sau oricepresupuneri despre k fiind aproape de zero. De asemenea, metoda noastră este capabilă să manipuleze un parametru nenul δ. În plus faţă de o forma exacta a solutiei pentru distributia pretului activelor, vom folosi, de asemenea, tehnici analitice pentru a dezvolta o aproximatie a distributiei. Aproximarea are avantajul de a fi chiar mai putin exigenta decât solutia exacta a calculului. Pentru majoritatea valorilor parametrilor, vom găsi, de asemenea, că aproximarea informaţiei este suficient de exacta – conduce catre preturile optinunilor apropiate acelora obtinute cu formula exacta. Un produs al analizei noastre ne permite să facem o legătură direct între parametrii procesului de volatilitate şi măsura în care distribuţiile preturilor activelor au cozi groase, în comparaţie cu distribuţia normală. Suntem în măsură să prezentam în mod explicit modul în care forma distributiei preţului de vînzare al activelor depinde de parametrii ecuaţiei (2), astfel ca urmărim cozile groase înapoi la originile lor "primitive", constantele δ, θ si k². Restul articolului este organizat după cum urmează. Principalele rezultate pentru exactitatea şi aproximarea distributiei pretului activelor sunt prezentate în Secţiunea 1.În secţiunea 2, aceste rezultate se aplică pentru preturile optiunilor. Folosind literatura empirică privind volatilitatea stocastică ca un ghid, vom selecta un interval de valori "rezonabile" a parametrilor si vom compara preţurile generate de modelul studiat la preturile Black-Scholes (1973). În secţiunea 3, vom explora legătura între modelul nostru deparametrii şi gradul în care distribuţiile preturilor activelor de peste orizonturi de timp diferite au cozi groase.În secţiunea 4, putem concluziona şi discuta despre unele extensii posibile ale modelului studiat.