Elemente de statistică în mecanica fluidelor

ELEMENTE DE STATISTICA IN MECANICA FLUIDELOR

Proiectarea structurilor marine cere o cunoaştere adecvată a înălţimilor de val posibile, un accent preponderent punându-se pe cunoaşterea celor mai înalte valuri posibile. Cele mai cunoscute înălţimi de val sunt H1/3 (înălţimea semnificativă care în mod uzual se notează cu Hs) şi Hmax (înălţimea maximă); alte statistici de valuri posibile sunt înălţimea medie a valului H , rădăcina medie pătratică a înălţimii de val Hrms sau media celor mai înalte 10% valuri H1/10, măsurate într-un interval de timp.

Pentru a înţelege ce semnifică aceste definiţii a înălţimilor de val, considerăm un grup de N înălţimi de val măsurate într-un punct. Ordonând aceste valuri de la cele mai înalte la cele mai joase, şi atribuindu-le un număr de la 1 la N, H1/3 este definită ca media celor mai înalte N/3 valuri iar Hmax este înălţimea maximă înregistrată. Corespunzător, Hp ar putea să fie definit ca media primelor pN valuri, cu p ≤ 1.

Probabilitatea ca înălţimea valului să fie mai mare sau egală cu o înălţime arbitrară Hˆ este:

(1)

unde n este numărul de valuri mai mari decât Hˆ

Rădăcina medie pătratică a înălţimii de val pentru grupul nostru de valuri, Hrms, este definită de relaţia:

(2) şi este întotdeauna mai mare decât H1 într-o mare reală.

DISTRIBUŢIA RAYLEIGH

Se presupune că suprafaţa mării este compusă dintr-un număr mare de sinusoide, dar cu frecvenţele lor apropiate de o valoare comună σ (ceea ce semnifică că se referă la bandă îngustă de frecvenţe în jurul lui σ).

Prin urmare, pentru M componente de frecvenţă, vom avea:

(3)

sau echivalent, în notaţie complexă,

(4)

Notaţia Re se referă la faptul că este considerată doar partea reală, Re(eiσt) = cos σt.

Pentru a defini distribuţia înălţimii de val, avem nevoie să examinăm statisticile unei înfăşurătoare care variază lent, B(t):

(5)

De la teoria statistică poate fi arătat, spre exemplu Longuet-Higgins (1952), că dacă

componente individuale ale lui B sunt statistic independente şi este utilizat un număr mare de numere M, atunci probabilitatea înălţimii valului de a fi mai mare sau egală cu o înălţime de val arbitrară (Hˆ ) este dată de:

(6)

care este numită distribuţia Rayleigh.

Această probabilitate teoretică poate fi comparată cu şirul ordonat de valuri, N.

Din relaţiile (1) şi (6) rezultă:

(7)

FUNCŢIA DENSITATE DE PROBABILITATE RAYLEIGH

Funcţia densitate de probabilitate fH rezultă de la densitatea de probabilitate Rayleigh :

(8)

Această funcţie este reprezentată în figura 1 de unde rezultă că maximul probabil pentru sau valul cel mai probabil este H = 0,707 Hrms.

De la teoria statistică putem obţine relaţii importante utilizând funcţia distribuţie pentru înălţimea de val. Înălţimea medie a valului este definită ca:

(9)