Aspecte Matematice ale Semnalelor

CAPITOLUL I: NOŢIUNI GENERALE DESPRE SEMNALE

1.1 CONSIDERAŢII TEORETICE

Transmisiunile (telecomunicaţiile) reprezintă un domeniu al ştiinţei şi tehnicii care se ocupă cu comunicaţiile la mare distanţă. Acestea se realizează prin transmisia semnalelor care sunt nişte purtători fizici capabili să se propage într-un mediu dat şi conţin toate caracteristicile necesare şi suficiente pentru recunoaşterea mesajelor la partea de recepţie.

Trebuie precizat că cel puţin în domeniul tehnic noţiunea de semnal nu poate fi despărţită de noţiunea de sistem. Astfel, sistemul este acea structură fizică ce efectuează anumite operaţii de transformare asupra unui semnal oarecare aplicat dintr-un anumit motiv şi într-un anumit scop la intrările sale.

Orice sistem real de transmisie al informaţiei poate fi interpretat utilizând modelul din figura 1:

Sursa de informaţii emite un mesaj care corespunde unui ansamblu de idei, concretizate prin cuvinte scrise sau vorbite, prin imagini sau prin cifre ce trebuie transmise la utilizator. Mesajul este transformat în traductorul-emiţător în semnalul s1(t) (de obicei de natură electrică), care poate fi transmis la distanţă prin canalul de telecomunicaţii. La recepţie se obţine semnalul s2(t) , care este transformat prin intermediul traductorului- receptor în mesaj şi transferat la utilizator. În timpul propagării prin canalul de transmisie, semnalul util s1(t) este supus unor influenţe perturbatoare, la care este necesar să se ţină seama atunci când se face reconstituirea semnalului util.

Pentru ca semnalul să conţină informaţie este necesar ca el să aibă un caracter aleator mai mult sau mai puţin pronunţat. Dintr-un asemenea punct de vedere, toate semnalele sunt aleatoare. De altfel, trebuie spus de la început că în transmiterea semnalelor imprevizibilul intervine într-o măsură mai mare sau mai mică. În condiţiile când caracterul aleator al semnalului este mai puţin pronunţat, adică imprevizibilul intervine numai în mod parametric, semnalul este determinist în sens larg. Semnalul devine determinist în sens restrâns dacă imprevizibilul este eliminat, ceea ce înseamnă că parametrii realizărilor particulare ale semnalului devin constante. Din punct de vedere probabilistic, orice realizare particulară a unui semnal aleator reprezintă un eveniment care apare cu o anumită probabilitate.

Pentru exemplificare, fie un semnal oarecare de forma:

S(t)=acos( t+ ),

unde a, şi sunt amplitudinea, frecvenţa, respectiv faza semnalului s(t), mărimi fizice denumite generic parametrii semnalului s(t) astfel considerat.

Dacă a=a0, = 0, în care a0=ct, şi 0=ct, iar este o variabilă aleatoare, semnalul s(t) este determinist. Când în plus = (n), unde (n) este o realizare particulară a variabilei aleatoare , semnalul s(n)(t)= a0cos( 0t+ 0)este perfect determinat pe întreg domeniul timp.

Principalele caracteristici ale semnalului sunt: energia E, durata T, şi banda de frecvenţe B. Dacă energia semnalului determină siguranţa recepţiei, iar durata-timpul necesar transmisiei, lărgimea spectrului semnalului transmis (banda de frecvenţe) impune banda de frecvenţe a canalului informaţional.

În multe aplicaţii se introduce parametrul :

B= T

denumit baza semnalului. Pentru semnale simple B=1, în timp ce pentru semnale complexe B 1.

Energia semnalului s(t) este dată de relaţia:

Es=

1.2.MODELAREA MATEMATICĂ A SEMNALELOR

Semnalul este deci o oscilaţie electrică, obţinută de la o sursă sau determinată într-o secţiune a unui aparat sau echipament electronic. În telecomunicaţii, semnalele provin de regulă de la un traductor care transformă o mărime neelectrică într-o mărime electrică (de exemplu un microfon). Deoarece de regulă ne interesează evoluţia trecută şi viitoare a semnalelor se presupune că acestea sunt funcţii de timp. În sens mai larg, se pot concepe şi semnale exprimate în alte coordonate (de exemplu frecvenţa).

În studiul semnalelor se folosesc următoarele notaţii: M–o mulţime de momente care poate fi definită a relaţie de forma , N, Z, R, C-mulţimea numerelor naturale, întregi, reale, respectiv complexe (N Z R C).

Fie M o mulţime oarecare fixată.

Semnalul definit pe mulţimea M cu valori în M este orice aplicaţie de forma s: M M, astfel încât t s(t), adică fiecărui moment t M să-i corespundă univoc un element s(t) M, bine determinat, element denumit eşantionul semnalului s la momentul t considerat.