Pendulul lui Mach

Principiul

1.Miscarea de rotatie a unui corp rigid in jurul unei axe fixe este descrisa de ecuatia:

(1)

unde M este momentul fortei de axa de rotatie, iar I momentul de inertie al corpului fata de axa.

Momentul de inertie I al unui corp fata de o axa este definita prin formula:

(2)

unde mk sint masele particulelor din care este compus corpul, iar Rk distantele lor pina la axa; q – densitatea,dV – elementul de volum de masa dm si R – distanta sa pina la axa.

Pendulul fizic este un corp rigid care poate oscila in jurul unei axe orizontala de suspensie sub actiunea fortei de greutate ( fortele de frecare se vor neglija ). Ecuatia de rotatie va fi in acest caz ( fig.1 ):

(3)

Semnul minus se datoreste faptului ca pentru pozitiv in sens trigonometric, momentul fortei mg este negativ ( adica in sens invers ). Considerind oscilatiile de amplitudine unghiulara ( < 4 grade, adica <<1 rad), putem aproxima sin ~ 0 (rad): atunci (1) devine:

(4)

de unde, prin comparatie cu ecuatia oscilatorului armonic

(4’)

fig.1 Pendulul fizic

Vedere laterala Vedere in planul de oscilatile

fig.2 Pendulul Mach

rezulta frecventa si perioada oscilatiilor:

(5)

independenta de aplitudinea unghiulara a oscilatiilor ( legea izocronismului oscilatiilor mici ).

Pendulul simplu (matematic) este un punct material (corp de dimensiuni neglijabile); suspendat printr-un fir imponderabil ( de greutate neglijabila ) si inextensibil, care poate oscila in jurul punctului sub actiunea gravitatii sale (neglijam fortele de frecare). In cazul acesta:

(6)

Pendulul fizic are aceeasi perioada ca si un pendul matematic de lungine

(7)

care se numeste lungimea redusa a pendulului fizic.

Pentru amplitudini unghiulare oarecare, prin inmultirea lui (3) cu 2 , obtinem

de unde prin integrare cu conditia la limita: cind -> 0 = amplitudinea unghiulara, obtine asazisa prima integrala a miscarii:

(8)

relatie care rezulta si direct din conservarea si transformarea reciproca a energiei cinetice si energiei potentiale mgh:

(8’)

Observind ca perioada T ( - durata unei oscilatii complete ) este de 4 ori timpul de deviatie de la pozitia verticala de echilibru pina la o extremitate, cind , obtinem din (8) succesiv:

(9)

Prin schimbarea de variabila , obtinem:

(10)

unde K(k) este asazisa integrala eliptica completa de prima speta, a carei valoare este data de dezvoltarea in serie: