Serii formale și funcții generatoare

Introducere

Seriile formale si functiile generatoare reprezinta una dintre notiunile de care te lovesti,

oricare ar f domeniul matematicii in care lucrezi : topologie algebrica , analiza , algebra,

geometrie algebrica , etc Poate ca acesta este unul dintre aspectele cele mai frumoase

ale matematicii : acelasi adevar poate f exprimat in cele mai diverse chipuri. Acesta este

motivul cel mai important pentru care mi-am ales ca tema a lucrarii de licenta sa prezint

o mica introducere in lumea Seriilor Formale si Functiilor Generatoare.

Lucrarea am structurat-o in 2 capitole. Primul capitol este format din doua subcapitole:

" Defnitii si proprietati fundamentale" si " Derivate formale si functii trigonometrice

". Aceste subcapitole sunt impartite la r^andul lor in alte subcapitole.

^In primul capitol amincercat sa dezvolt o teorie sistematica a seriilor formale. Aceasta

teorie este cunoscuta de mai multi scriitor ori matematicieni , care o folosesc pentru a

evita intrebarile despre convergenta seriilor la infnit Am vorbit aici despre aplicatii cu

partitii , aplicatii asupra functiilor de divizori , despre functia exponentiala,serii formale de

puteri , inele de polinoame , despre cum se noteaza o serie formala, functii trigonometrice

si ecuatii diferentiale si nu in ultimul r^and despre teorema logaritmica si binomiala , unde

am defnit si demonstrat o serie de teoreme.

^In fnal spunem ca teoria seriilor formale, dezvolta aici, in analogie cu puterile seriilor

cu o singura variabila , poate f extinsa intr-un mod similar cu cazurile de variabile multiple.

Al doilea capitol cuprinde urmatoarele subcapitole : "Defnitii si exemple fundamentale

" si " Metodele lui Rainville" Aici am descris si explicat folosirea unor metode

efective pentru obtinerea functiilor generatoare ^In " Introducere " am defnit functia

generatoare , am dezvolta-o pentru a include diferite serii , cum sunt seriile Laurent, si

am folosit-o pentru a defni urmatoarele functii speciale : functia Bessel si polinoamele lui

Legendre , Gegenbauer , Hermite si Laguerre ^In " Functia factoriala si functia hipergeometric

a generalizata " si in " Obtinerea functiilor generatoare din extinderea puterilor

lui X " am aratat cum se gaseste functia factoriala si hipergeometrica , si cum se obtin

functiile generatoare cu ajutorul extinderii puterilor lui X Subcapitolul " Metodele lui

Rainville " ne prezinta alte metode de a gasi functii generatoare , cu ajutorul variabilelor

auxiliare , functiilor biliniare si bilaterale , si in fnal se face insumarea rezultatelor si

anume : sunt prezentate toate relatiile generatoare obtinute in acest capitol si explicate.

Capitolul 1

Serii Formale

1.1 Defnitii si proprietati fundamentale

1.1.1 Un exemlu din algebra

Pentru a motiva teoria incepem cu un exemplu din algebra. Fie qn numarul de

posibilitati asociate la n rezultate a1a2a3:::an intr-un sistem neasociativ

De exemplu , q3 = 2 , deoarece a1(a2a3) si (a1a2)a3 sunt singurele posibilitati.

Similar q4 = 5 din cauza relatiilor a1(a2(a3)a4); a1((a2a3)a4); (a1a2)(a3a4) , (a1(a2a3))a4,

((a1a2)a3)a4 Pentru n >= 2 este usor sa estimam formula recursiva cu argumentul

Prin impunerea unui sistem de paranteze asupra lui a1a2a3:::an , pentru a-l face un rezultat

bine defnit , putem incepe prin a scrie

(2) (a1a2:::aj)(aj+1aj+2:::an):

Acum numarul de posibilitati asociat rezultatului a1a2a3:::aj este qj , prin defnitie, si de

asemenea , al doilea factor din formula (2) poate f asociat in qn