Extras din seminar
6.10.2009 Seminar 1
1. Pentru orice submultime nevida C ` R notam −C = {−x; x > C}. Sa se
arate ca daca C este marginita, atunci sup(−C) = −inf C si inf(−C) =
−supC.
R: C marginita §m = inf C > R si M = supC > R. Vom arata ca −m
este cel mai mic majorant al multimii −C, care este la randul ei marginita.
m = inf C m B x; ¦x > C −m C −x; ¦x > C;
deci −m este un majorant al multimii −C. Daca ar exista un alt majorant
−m < −m al lui −C, atunci m ar un minorant al lui C mai mare decat
m, ceea ce contrazice de nitia lui m ca ind marginea inferioara a lui C.
In mod analog se arata ca −M este marginea inferioara a lui −C.
2. Se considera multimea A = {m
n S0 < m < n; m;n > Z}. Sa se arate ca A
nu are un cel mai mic element si nici un cel mai mare element si sa se
determine inf A, supA.
R: Pentru orice m
n > A, gasim 2m−1
2n < m
n < 2m+1
2n , cu 2m−1
2n ; 2m+1
2n > A, ceea
ce implica faptul ca A nu poate avea nici minim nici maxim.
Vom arata in continuare ca inf A = 0 si supA = 1. Evident, 0 < m
n < 1,
¦m
n > A.
Pentru orice " > 0 arbitrar, exista n > Z;n > 1 astfel incat 0 < 1
n < ", iar
cum 1
n > A, avem ca 0 este cel mai mare minorant al lui A.
Din nou, pentru orice " > 0 arbitrar, exista m > Z;m > 0 astfel incat
1 − " < m
m+1 < 1, iar cum m
m+1 > A, avem ca 1 este cel mai mic majorant al
lui A.
3. Care din submultimile V ` R urmatoare sunt vecinatati ale originii:
(a) V = (−1; 2); R: da.
(b) V = [0;ª); R: nu, niciun interval deschis care contine originea nu
este inclus in V .
(c) V = (−3; 1) 8 (3;ª); R: da.
(d) V = Q; R: nu, Q nu contine niciun interval deschis.
4. Sa se precizeze care din multimile urmatoare sunt deschise:
(a) g; R: da.
(b) R; R: da.
(c) un interval deschis (a; b); R: da.
(d) o semidreapta deschisa; R: da.
(e) un interval [a; b]; R: nu, [a ; b] = (a; b) x [a; b].
(f) un interval [a; b); R: nu.
(g) o semidreapta inchisa; R: nu.
(h) {a}; a > R; R: nu, { a} = g.
1
6.10.2009 Seminar 1
5. Sa se a
e aderenta urmatoarelor multimi:
(a) R; R: R.
(b) g; R: g.
(c) [a; b]; R: [a; b].
(d) {x0}; R: {x0}.
(e) (a; b]; (a; b); [a; b); R: [a; b].
(f) o semidreapta deschisa; R: acceasi semidreapta, dar inchisa.
(g) Q; R: R.
(h) I = R Q; R: R.
(i) {1; 1
2 ; : : : ; 1
n; : : : }; R: {1; 1
2 ; : : : ; 1
n; : : : ; 0}.
(j) {1; 2; : : : ;n; : : : }; R: {1; 2; : : : ; n; : : : }.
6. Sa se precizeze daca multimile A sunt dense fata de multimea B:
(a) A = (a; b];B = [a; b]; R: da.
(b) A = Q;B = R; R: da.
(c) A = R Q;B = R; R: da.
7. Sa se determine punctele de acumulare si punctele izolate ale
submultimilor D ` R urmatoare:
(a) D = (−1; 1); R: Da = [−1; 1]; Di = g.
(b) D = (−ª; 1) 8 (5;ª); R: Da = (−ª; 1] 8 [5;ª); Di = g.
(c) D = Z; R: Da = g; Di = Z.
(d) D = { 1
x ; x > R; x x 0}; R: Da = R; Di = g.
(e) D = {(−1)n 1
n;n > Z;n C 1}; R: Da = {0}; Di = D.
(f) D = domeniu maxim de de nitie pentru f(x) =arcsin(x −
º
1 − x2);
R: Da = [0; 1]; Di = {−1}.
8. Sa se determine interiorul si frontiera multimilor
(a) A = {x > R; SxS B 1}; R: A = (−1; 1), FrA = {−1; 1}.
(b) B = {x > R; SxS = 1}; R: B = g, FrB = {−1; 1}.
(c) C = Q; R: C = g, FrC = R.
9. Fie multimea A = [0; 1) 8 {2} 8 [3; 4). Sa se calculeze A ;A;A ;
A;
A;
A.
R: A = (0; 1) 8 (3; 4);A = [0; 1] 8 {2} 8 [3; 4];A = (0; 1) 8 (3; 4);
A = [0; 1] 8 [3; 4];
A = (0; 1) 8 (3; 4);
A = [0; 1] 8 [3; 4].
10. Sa se precizeze care din multimile urmatoare sunt compacte:
(a) o multime nita; R: da.
(b) un interval inchis; R: da.
(c) o reuniune nita de intervale compacte; R: da.
(d) [a; b); R: nu.
(e) o semidreapta; R: nu.
2
Preview document
Conținut arhivă zip
- s1.pdf
- s10.pdf
- s11.pdf
- s12.pdf
- s2.pdf
- s3.pdf
- s4.pdf
- s5.pdf
- s6.pdf
- s7.pdf
- s8.pdf
- s9.pdf