Metode Numerice - Curs 1

Crearea, analiza şi implementarea de algoritmi pentru rezolvarea problemelor din matematica

continuă

-Analiza complexităţii, analiza şi propagarea erorilor, condiţionarea problemelor şi stabilitatea

numerică a algoritmilor problemelor numerice

-Prezentarea metodelor numerice clasice şi a celor moderne de rezolvare a problemelor ştiinţifice

şi inginereşti

-Alegerea celor mai potrivite metode numerice pentru o problemă dată

Conţinut curs.

-Reprezentare în virgulă mobilă. Standardul IEEE 754 pentru numere reale.

Condiţionarea problemelor şi stabilitatea numerică a algoritmilor.

-Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare prin metode gaussiene.

Pivotare parţială şi totală. Factorizare LU.

-Propagarea erorilor în rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare.

-Metode iterative de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare

-Interpolare polinomială. Polinom de interpolare Lagrange.

-Diferenţe divizate. Polinom Newton. Eroarea interpolării.

-Interpolare cu funcţii spline. Interpolare trigonometrică.

-Aproximare uniformă. Polinoame Cebâşev. Algoritmii lui Remes.

-Aproximare continuă şi discretă în sensul celor mai mici pătrate.

-Rezolvarea sistemelor în sensul celor mai mici pătrate. Factorizare QR.

-Metodele Householder, Givens, Gram-Schmidt

-Integrare numerică. Metode Newton-Cotes. Metoda Romberg.

-Integrare gaussiană. Polinoame ortogonale. Integrale improprii.

-Integrarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare. Metode Runge-Kutta.

-Metode multipas explicite şi implicite. Predictor-corector.

-Convergenţa metodelor multipas

-Valori proprii şi vectori proprii. Metodele puterii

-Algoritmul QR cu deplasare explicită. Descompunerea valorilor singulare

2

Aplicaţii ale calculului numeric.

1. Determinarea curenţilor într-un circuitul electric în regim staţionar:

conduce prin aplicarea legilor lui Kirchhoff la un sistem de ecuaţii liniare:

+ =

+ =

+ − =

3 4 18

2 4 10

0

2 3

1 3

1 2 3

I I

I I

I I I

cu soluţia I1=1, I2=2, I3=3

2. Modelul Leontieff consideră economia formată din n sectoare independente: S1,S2,…, Sn. Fiecare

sector consumă bunuri produse de celelalte sectoare (inclusive cele produse de el însuşi). Introducem

notaţiile:

mij = numărul de unităţi produse de sectorul Si necesare sectorului Sj să producă o unitate

pi = nivelul producţiei sectorului Si

mijpj = numărul unităţilor produse de Si şi consumate de Sj

Numărul total de unităţi produs de Si este: p1mi1+p2mi2+…+pnmin

Într-un system închis (autarhic) dacă economia este echilibrată, tot ce se produce trebuie consumat, adică:

+ + + =

+ + + =

n n nn n n

n n

m p m p m p p

m p m p m p p

L

L

L

1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

Adică sistemul: M.p = p sau (I-M).p=0, care pentru soluţii nenule, conduce la o problemă de valori

şi vectori proprii.

Într-un model deschis de economie, unele sectoare îşi satisfac unele cerinţe din exterior, adică:

pi = mi1p1+mi2p2+…+minpn+di

care conduce la sistemul liniar de ecuaţii:

p = M.p + d

cu soluţia:

p = (I-M)-1.d

3

3. Coeficienţii care apar în reacţiile chimice se obţin aplicând legea conservării masei ecuaţiei de echilibru

chimic. Astfel arderea etanului:

xC2H6 + yO2 → zCO2 + tH2O

dă sistemul de ecuaţii liniare:

= +

=

=

y z t

x t

x z

2 2

6 2

2

care are o soluţie întreagă:

x=2, y=7, z= 4, t=6.

deci ecuaţia chimică este:

2C2H6 + 7O2 → 4CO2 + 6H2O.

O problemă având o natură fizică oarecare poate fi studiată experimental sau prin simulare. Aceasta

poate fi transformată, utilizând legile fundamentale ale fizicii într-o problemă de natură matematică PM .

Vom spune că problema este bine pusă dacă admite o soluţie unică.