Semiconductori

Mecanica cuantica si functiile orbitale

- Primele studii asupra fenomenelor care fac posibila conductibilitatea în stare solida au fost facute de fizicianul olandez Hendric Antoon Lorentz. Acesta considera existenta unui câmp al ionilor care se manifesta în structura cristalului. Ulterior, pe baza acestei teorii, fizicianul austriac Wolfgang Pauli elaboreaza o teorie mecanic cuantica care justifica conductia pe baza prezentei unor benzi de energie. În 1926, fizicianul austriac Erwin Schrödinger elaboreaza mult mai cunoscuta teorie a functiilor de unda care se manifesta în orice sistem si care pune bazele matematice ale studiului cuantic al fenomenelor care se manifesta la nivel atomic.

- Cazul cel mai simplu al ecuatiei Schrödinger este pentru o particula de masa m si energie E ce se misca unidimensional în directia axei x într-un câmp al carui potential este V(x), unde h este constanta lui Planck (h = 6.62608•10-34 J•s) iar ¨ este functia de unda asociata miscarii particulei:

- Legatura între functia de unda si fenomenele observabile a fost facuta de Max Born prin analogie cu teoria ondulatorie a luminii, în care patratul amplitudinii unei unde electromagnetice este interpretat ca intensitatea acesteia, adica în termeni cuantici este o masura a probabilitatii ca un foton sa se afle în acea regiune. Daca ¨ este functia de unda (care poate fi o functie complexa) atunci unde conjugata complexa a functiei de unda, da densitatea de probabilitate a particulei. Probabilitatea se obtine prin înmultirea cu elementul de volum corespunzator.

- Daca pentru electronul atomului de hidrogen scrierea si rezolvarea pe cale analitica a ecuatiei lui Schrödinger se poate face fara probleme, situatia se complica pentru atomii cu mai multi electroni si rezolvarea se face doar pe cale numerica.

- Pentru atomii implicati în legaturi chimice locul geometric pe care se misca electronii se obtine prin suprapunerea functiilor de unda. Cel mai simplu exemplu în acest sens este molecula de hidrogen, pentru care functiile de unda ale celor doi electroni se scriu în forma:

¨ = ¨H1sA(1)•¨H1sB(2) ± ¨H1sA(2)•¨H1sB(1)

- unde indicele H1 indica ca functia de unda este corespunzatoare atomului de hidrogen cu un electron, indicele s de la forma orbitei acestui electron (sferica), A este primul atom al moleculei si B este cel de-al doilea, parametrul (1) exprima scrierea functiei de unda pentru electronul 1 al moleculei iar parametrul (2) scrierea functiei de unda pentru electronul 2. Semnul ± indica existenta a doua stari energetice, cea cu semnul + corespunzând functiei de unda de legatura iar semnul – corespunzând functiei de unda de antilegatura. Se stabilesc astfel doua nivele energetice corespunzatoare celor doua functii de unda. Pentru moleculele cu mai multi atomi exprimarea functiilor de unda este si mai dificila când rezulta un numar de nivele energetice în molecula egale cu suma numerelor de nivele energetice ale atomilor constituenti.

Starea solida cristalina

- În cristalele monoatomice se stabilesc legaturi prin suprapunerea acestor functii de unda atomice pentru toti atomii ce compun cristalul. De exemplu pentru cristalul de germaniu, o proiectie plana a structurii acestuia este reprezentata alaturat.

- Geometria spatiala a cristalului de germaniu este similara cu cea a diamantului, si celula elementara este cubica. În aceasta structura fiecare atom de germaniu stabileste câte 4 legaturi cu atomi de germaniu vecini în structura, asa cum se poate observa din figura. Rezultatul suprapunerii functiilor de unda ale tuturor atomilor din cristal este aparitia unor benzi energetice care înlocuiesc nivelele energetice din moleculele cu mai multi atomi.

- Rezolvarea exacta a sirului de ecuatii de unda este imposibila. De exemplu, pentru 1 cm3 de cristal, ar trebui sa rezolvam 1022 ecuatii. De aceea se apeleaza la un sir de aproximatii, ca aproximatia nucleelor în repaus (nucleele se misca cu o viteza mult mai mica decât a electronilor asa ca distributia spatiala a electronilor poate urmari instantaneu pozitia nucleelor), aproximatia unielectronica (metoda Hartree-Fock, energia de interactie dintre electroni se calculeaza ca intervenind între un singur electron si câmpul mediat al celorlalti electroni), teorema Bloch (pentru un cristal ideal oarecare este firesc sa se presupuna ca potentialul manifesta o periodicitate determinata de asezarea ordonata în spatiu a nucleelor).

- Mai departe, pentru stabilirea benzilor de energie, alta aproximatie intervine, aproximatia electronului aproape liber (valoroasa în studiul metalelor) si aproximatia electronului puternic legat (pentru semiconductori si dielectrici). Aproximatia electronului puternic legat considera ca starea electronului din cristal nu difera cu mult de cea a electronului din atomul izolat, adica ca starea electronului din atom este perturbata putin de variatiile potentialului din cristal.

Formarea benzilor în solidele cristaline

- Sa consideram un caz simplu, al unui cristal monodimensional, format dintr-un sir de atomi, fiecare având un orbital disponibil rezultat din functia de unda a atomului cu o anumita energie. Fiecare astfel de atom contribuie la formarea de orbitali moleculari (de legatura si antilegatura).

- Fie un atom, notat (1). În figura urmatoare este ilustrata formarea orbitalilor moleculari prin apropierea succesiva de acesta a celorlalti atomi (2, 3, ...) din cristalul monodimensional. Figura a reprezinta starea energetica a orbitei în atomul initial (1). În figura b se ilustreaza aparitia unei orbite de legatura si a unei orbite de antilegatura, asa cum sugereaza ecuatia (2), pentru apropierea de atomul (1) a atomului (2). Figura c ilustreaza aparitia a 3 orbite (una de legatura, una de antilegatura si una intermediara).

- Mai departe, figura d este corespunzatoare sistemului format din 4 atomi (1-4). Aplicând în continuare iteratia, prin trecere la limita se ajunge la formarea unei benzi (figura e). Cel mai înalt nivel al benzii de energie corespunde unei orbite de antilegatura iar cel mai coborât nivel unei orbite de antilegatura (figura e).

- Daca atomii contribuie cu mai multe orbite (si energii) diferite s, p, d sau f atunci se poate ca prin suprapunerea orbitelor atomice sa duca la formarea a doua benzi energetice, separate printr-o zona numita banda interzisa (figura a). Se poate însa ca benzile permise rezultate din suprapunerea orbitelor atomice sa se suprapuna pentru a forma o singura banda permisa mai larga (figura b).

- Cristalele în care popularea cu electroni la 0 K se face prin completarea în întregime a unei benzi permise (figura a) sunt semiconductoare sau izolatoare. La acestea conductia este mica si creste cu temperatura (coeficient de conductie pozitiv).

- Cristalele în care popularea cu electroni la 0 K se face prin completarea partiala a unei benzi permise (figura b) sunt conductoare. La acestea conductia este mare si scade cu temperatura (coeficient de conductie negativ)