Extras din curs
CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE
1.1. Noţiuni de topologie
Clase speciale de spaţii topologice
Definiţie. Fie Χ ≠ φ ,Τ ⊂ Ρ(X ).Spunem că Τ este o topologie pe X dacă :
1. φ ,Χ∈Τ ;
2. ( ) , ; 1 2 1 2 ∀ Τ Τ ⇒Τ ∩Τ ∈Τ
3. (∀)(Τ ) ∈Τ⇒ ∪Τ ∈Τ.
i i∈I i∈I i
Elementul lui T se numesc mulţimi deschise iar cuplul ( X, T ) se numeşte spaţiu topologic.
Complementara unei mulţimi deschise se numeşte mulţime închisă.
Definiţie. Fie Χ ≠φ . O funcţie d : X × X → R+ cu proprietăţile :
1. ( ) 0 ; 1, 2 1 2 d x x = ⇔ x = x
2. ( ) ( ); 1, 2 2, 1 d x x = d x x
3. ( ) ( ) ( );
, , 1, 2 1 3 3 2 d x x ≤ d x x + d x x
see numeşte metrică ( distanţa ) iar ansamblul ( X, d ) se numeşte spaţiu metric.
Definiţie. Fie ( X, d ) un spaţiu metric, x ∈ X 0 şi r > 0.
Mulţimea D(x r) {x X d(x x ) r} o = ∈ < 0 , : , se numeşte discul deschis centrat în 0 x de rază r.
Teorema. Fie ( X, d) un spaţiu metric. Atunci
Τ = ∪{Τ ⊂ Χ (∀)x∈Τ (∃)r > o D(x r)⊂ Τ} d φ : , : , este o topologie pe X, deci orice spaţiu
metric este un spaţiu topologic.
Demonstraţie :
1. Din construcţia lui d Τ avem că . d φ ∈Τ Apoi este evident că d Χ∈Τ pentru că
(∀)x∈Χ, (∀)r > o avem D(x, r)⊂ Χ.
2. Fie , . 1 2 Τ Τ ∈Τ Fie . 1 2 ∈Τ ∩Τ Rezultă că 1 x∈Τ şi 2 x∈Τ şi deci ( ) ( ) 1 1 1 ∃ r > 0 : D x, r ⊂ Τ
şi ( ) 0 : ( , ) . 2 2 2 ∃ r > D x r ⊂ Τ Alegem { } 1 2 r = min r , r şi obţinem ( , ) . 1 2 D x r ⊂ Τ ∩Τ
3. Fie {Τ } ⊂ Τ. i i∈I Fie . i x∈∩Τ Rezultă că există : . 0 i0 i ∈ I x ⊂ Τ
Atunci avem că există ( ) 0 0 : , i r > D x r ⊂ Τ şi deci ( , ) . i I i
D x r ⊂ ∪Τ
∈
3
Definiţie. Fie ( X, +, · ) un spaţiu liniar. Se numeşte normă pe X o aplicaţie II·II : X→R cu
proprietăţile:
1. x ≥ 0(∀)x∈Χ şi x = 0⇔ x = 0;
2. λx = λ x ;(∀)x∈Χ;
3. x + y ≤ x + y ;(∀)x, y∈Χ
Ansamblul (Χ ) se numeşte spaţiu normat.
Teorema. Fie (Χ, ) un spaţiu normat. Atunci aplicaţia
( ) 1 2 1 2 d : Χ×Χ→ R d x , x = x − x + este o distanţă pe X, deci orice spaţiu normat este un
spaţiu metric.
1.2.NOŢIUNI DE TOPOLOGIE
Demonstraţie :
1. ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 d x , x = 0⇔ x − x = 0⇔ x − x = 0⇔ x = x
2. ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 d x , x = x − x = − x − x = x − x = d x , x
3.
( ) ( ) ( )
( ) ( ).
, ,
,
1 3 3 2
1 2 1 2 1 3 3 2 1 3 3 2
d x x d x x
d x x x x x x x x x x x x
= +
= − = − + − ≤ − + −
Observaţie. În particular, pe R aplicaţia d(x x ) Ix x I 1 2 1 2 , = − este o distanţă, iar ( R, d ) este
un spaţiu metric. Topologia generată de această metrică este familia reuniunilor arbitrare de
intervale deschise ( a, b ) din R şi este numită topologia euclidiană ( uzuală sau naturală ).
Definiţie. Fie ( X, +, · ) un spaţiu liniar.
Preview document
Conținut arhivă zip
- Analiza Matematica.pdf