Extras din curs
Exemplul 1. In R considerØam ¸sirul an = 1
n. Avemsn = 1+ 1
2 + ... + 1
n ,
deci seria (an, sn) este Pn
1
n , numitØa seria armonicØa.
Exemplul 2. In R considerØam ¸sirul an = qn1, q R. RezultØa sn =
1 + q + ...qn1 ¸si seria (an, sn) va fi Pn
qn1, numitØa seria geometricØa.
Exemplul 3. In R considerØam ¸sirul an = 1
n± , ± R. RezultØa sn =
1 + 1
2± + ... + 1
n± , deci seria (an, sn) va fi Pn
1
n± , numitØa seria armonicØa
generalizatØa.
Exemplul 4. In M[a,b] cu norma convergen¸tei uniforme, considerØam
¸sirul an (x) = xn1
(n1)!. RezultØa cØa sn (x) = 1+ x
1! + x2
2! + ... + xn1
(n1)! , deci seria
(an (x) , sn (x)) va fi Pn
xn1
(n1)!, numitØa seria exponen¸tialØa.
Exemplul 5. In R seria Pn
1
n(n+1) are ¸sirul sumelor par¸tiale
sn =
n Pk=1
1
k(k+1) =
n Pk=1
1
k
n Pk=1
1
k+1 = 1 1
n+1.
Deoarece lim
n’
sn=1, rezultØa cØa seria datØa este convergentØa ¸si Pn=1
1
n(n+1)=1.
Exemplul 6. Seria armonicØa Pn
1
n are ¸sirul sumelor par¸tiale sn =
n Pk=1
1
k
¸si deoarece s2n sn = 1
n+1 + 1
n+2 + ... + 1
2n > 1
2, rezultØa cØa {sn} nu este
¸sir Cauchy în R, deci nu este convergent. Ob¸tinem cØa seria armonicØa este
divergentØa.
185
186 CAPITOLUL 10. SERII
Exemplul 7. Seria geometricØa Pn
qn1 are ¸sirul sumelor par¸tiale sn =
n Pk=1
qk1 = 1qn
1q , convergent pentru | q |< 1 ¸si divergent pentru | q |e 1.
Deci seria geometricØa este convergentØa pentru | q |< 1 cu suma s = 1
1q ¸si
divergentØa în rest.
Conținut arhivă zip
- Serii in Spatii Vectoriale Normale.odt