Mecanică

CAPITOLUL 1

MECANICA CLASICÃ

A. FORMALISMUL LAGRANGEIAN

1. Spatiul configuratiilor

Spatiul mecanicii clasice este euclidian si tridimensional. El reprezintã un cadru care contine materia fãrã a interactiona cu ea. Timpul este unidimensional, absolut si fãrã nici o legãturã cu ceva extern. Pozitia unui punct material în spatiu este specificatã cu ajutorul razei vectoare ale cãrei componente sunt coordonatele carteziene x, y, z. Derivata la timp a razei vectoare este vectorul vitezã: , iar derivata la timp a vitezei se numeste acceleratie: . Pentru a specifica pozitia unui sistem de n puncte materiale sunt necesare n raze vectoare sau 3n coordonate.

Definitie.Numãrul de parametri independenti necesari pentru cunoasterea univocã a pozitiei unui sistem mecanic este numit numãrul gradelor de libertate ale sistemului.

În cazul descris acest numãr este 3n. În general parametrii independenti care specificã pozitia sistemului nu sunt neapãrat coordonatele carteziene ale punctelor materiale, ci orice alte distante si unghiuri (de exemplu: coordonatele specifice sau coordonatele cilindrice , etc.). În multe situatii sistemul mecanic suferã interactiuni cu caracter de legãturã adicã de limitare impusã pozitiilor reciproce ale corpurilor. Legãturile sunt produse cu ajutorul unor elemente fizice ca: firele, articulatiile, tijele, etc. În cazul în care se pot neglija frecãrile (care ne scot din cadrul mecanicii) si masele elementelor de legãturã, rolul lor se reduce la o micsorare a numãrului gradelor de libertate ale sistemului mecanic.

Definitie. Cele s mãrimi oarecare care specificã pozitia unui sistem mecanic (cu s grade de libertate) se numesc coordonatele generalizate ale sistemului mecanic. Derivatele la timp se numesc viteze generalizate iar derivatele acestora se numesc acceleratii generalizate. Experienta, sintetizatã în principiul determinismului lui Newton, aratã cã starea initialã a unui sistem mecanic (ansamblul pozitiilor si vitezelor punctelor sistemului la un moment dat) determinã univoc întreaga

miscare, în sensul de a putea prevedea pozitia sistemului la un moment ulterior. Din punct de vedere matematic aceasta înseamnã cã acceleratia la un moment dat este determinatã univoc de cunoasterea coordonatelor si vitezelor generalizate la acel moment:

Aceastã ecuatie, postulatã de Newton a fost pusã la baza mecanicii clasice . Ecuatiile care leagã acceleratiile de viteze si de coordonate se numesc ecuatii de miscare. Ele sunt ecuatii diferentiale de ordinul al doilea. Integrarea lor permite aflarea functiilor q(t) (numite traiectoriile miscãrii sistemului mecanic). Cele 2s constante de integrare necesitã cunoasterea coordonatelor si vitezelor generalizate la un moment dat.

Definitie: Numim spatiul configuratiilor (spatiul lui Lagrange) un spatiu reprezentativ s – dimensional ale cãrui axe sunt coordonatele generalizate . Un punct reprezentativ în spatiul configuratiilor corespunde unei pozitii a sistemului mecanic în spatiul tridimensional la un moment dat. Miscarea sistemului mecanic determinã punctul reprezentativ sã descrie o curbã numitã traiectorie în spatiul configuratiilor.

2. Principiul minimei actiuni (Hamilton)

Problema fundamentalã a mecanicii se pune astfel: cunoscând starea unui

sistem fizic la un moment dat t1, altfel spus cunoscând coordonatele si vitezele generalizate ale sistemului la acest moment si dându–se fortele care actioneazã asupra sistemului, sã se afle evolutia ulterioarã, sau traiectoria urmatã de punctul reprezentativ.

Rezolvarea acestei probleme este permisã de principiile lui Newton sau, echivalent, de principiul minimei actiuni al lui Hamilton, asa cum vom vedea.

Enunt: Orice sistem mecanic este caracterizat de o functie bine determinatã:

numitã functia lui Lagrange (sau lagrangeianul sistemului mecanic). Dacã la momentele t1 si t2 sistemul ocupã pozitii determinate: si , între aceste pozitii sistemul se miscã astfel încât integrala:

numitã actiune, ia o valoare minimã.