Rezistența materialelor

ECUAŢIILE PLĂCILOR PLANE

Introducere. Scurt istoric

Plăcile sunt elemente de structură cu o dimensiune mică în comparaţie cu celelalte două. Ele se întâlnesc în construcţii civile, industriale, marine, aerospaţiale etc.

Elementele geometrice care definesc o placă sunt suprafaţa mediană şi grosimea – măsurată pe normala la suprafaţa mediană, de care este împărţită în două părţi egale. De obicei grosimea este constantă dar se întâlnesc şi plăci a căror grosime este variabilă, continuu sau în trepte. Considerând grosimea constantă, se poate da plăcilor şi următoarea definiţie: corpuri ce ocupă volumul cuprins între două suprafeţe între care se află aceeaşi distanţă.

Din punct de vedere al formei suprafeţei mediane, plăcile pot fi plane şi curbe.

Plăcile plane sunt limitate de unul sau de mai multe contururi cilindrice cu generatoare perpendiculare pe planul lor median. Intersecţia contururilor cilindrice cu acest plan se numeşte contur. El poate avea cele mai diverse forme. Tot în categoria plăcilor plane se includ şi acele plăci care au o curbură mică intenţionată (de exemplu plăcile care urmăresc selatura punţii la nave) sau produsă de procese tehnologice de asamblare prin sudură sau de solicitări plastice anterioare.

Plăcile curbe care nu au graniţe, adică sunt definite geometric de suprafeţe închise se numesc învelişuri. Frecvent, se utilizează noţiunea de înveliş şi pentru plăcile curbe mărginite de unul sau de mai multe contururi. Faţă de plăcile plane, plăcile curbe judicios utilizate se pretează mai bine la preluarea şi transmiterea încărcărilor. În componenţa corpului navei, se întâlnesc plăci curbe la extremităţi (prova, pupa) şi în zona gurnei. Ele joacă un rol important la impactul cu valuri, gheaţă etc.

Obiectul de studiu al teoriei plăcilor este determinarea stărilor de tensiune şi deformaţie care apar în acestea datorită acţiunilor exterioare.

În studiul clasic al plăcilor şi învelitorilor sunt cunoscute două moduri de abordare.

Primul mod de abordare, datorat lui Cauchy, se bazează pe dezvoltările în serie ale funcţiilor deplasare şi tensiune, după coordonata z (măsurată normal pe suprafaţa mediană a plăcii). Prin păstrarea în aceste serii a unui număr minim posibil de termeni s-a obţinut ecuaţia Sophie-Germaine. Majorând numărul de termeni reţinuţi, se pot obţine ecuaţii care conduc la soluţii mai exacte. Dacă s-ar considera un număr infinit de termeni, este de aşteptat să se obţină soluţia exactă. Folosind acest mod de abordare, Navier a rezolvat problemele încovoierii şi stabilităţii pentru placa dreptunghiulară simplu rezemată pe contur. Analiza comportării plăcilor în cazul general a fost făcută de Poisson, care a introdus o condiţie suplimentară pentru impunerea condiţiilor la limită pe contur. Deşi se părea că abordarea Cauchy-Poisson de calcul a plăcilor este universală, în jurul ei a apărut o polemică dusă pe două direcţii. Prima reclama lipsa unei argumentări riguroase a convergenţei seriilor utilizate, motiv pentru care a fost contestată de Saint-Vénant în comentariile la traducerea în limba franceză a lucrării de teoria elasticităţii a lui Clebsch. A doua direcţie se referă la neelucidarea satisfăcătoare a problemei privind numărul condiţiilor la limită necesare pentru fiecare latură a unei plăci dreptunghiulare.

Al doilea mod de abordare, care a condus la o teorie tehnică a plăcilor, se datorează lui Kirchhoff. Acesta a introdus ipoteza normalei drepte – similară ipotezei secţiunilor plane a lui Bernoulli din teoria elementară a încovoierii barei. Abordarea Kirchhoff a căpătat rapid recunoaştere unanimă, fiind larg folosită datorită avantajelor sale; dintre acestea se menţionează claritatea semnificaţiei fizice a ipotezei normalei drepte (în bună măsură verificată experimental), posibilitatea introducerii şi la plăci (ca la bare) a eforturilor secţionale precum şi faptul că a permis lui Thomson şi Tait să clarifice definitiv controversata problemă a condiţiilor la limită. O teorie similară cu cea a lui Kirchhoff, aplicată învelitorilor cu dublă curbură, aparţine lui H. Aron . Autorul ecuaţiilor generale ale teoriei învelitorilor bazată pe ipoteza Kirchhoff este A. E. H. Love (1863 1940), care a elaborat şi o strălucită monografie de elasticitate.

Multă vreme s-a apreciat că abordarea Kirchhoff prezintă inconvenientul că, spre deosebire de abordarea Cauchy-Poisson, nu poate fi în continuare dezvoltată către o teorie exactă. În calculul învelitorilor s-au adăugat inconsecvenţele privind considerarea micilor mărimi: unele sunt ignorate iar altele – de acelaşi ordin de mărime, sunt păstrate. S-au dezvoltat astfel mai multe variante ale ecuaţiilor învelitorilor, diferite între ele şi faţă de forma iniţial obţinută de Love numai prin prezenţa sau absenţa unor termeni cu pondere mică. Folosind ecuaţiile elasticităţii şi coordonatele curbilinii, Galerkin a propus o metodă de obţinere a ecuaţiilor generale ale învelitorilor groase cu deformaţii mici. Deşi au avut în vedere plăcile groase, metoda originală a lui Galerkin a avut un rol important în dezvoltarea teoriei învelitorilor şi plăcilor. Contribuţii de seamă în dezvoltarea teoriei generale a învelitorilor au avut-o V. Z. Vlasov , A. Lurie, E. Meissner, W. Flugge , E. Reissner A. L. Goldenveizer, V. V. Novojilov ş.a. Studiile acestora au permis clasificarea plăcilor d. p. d. v. al metodelor de calcul şi stabilirea principiilor de simplificare a relaţiilor generale ale elasticităţii în vederea obţinerii ecuaţiilor inginereşti ale plăcilor şi învelitorilor având curbură mică. Astfel Mindlin a creat o teorie tehnică inginerească pentru plăci groase, care ia în considerare şi forfecarea transversală, înlocuind ipoteza normalei drepte a lui Kirchhoff cu ipoteza conform căreia un segment de dreaptă normal pe planul median înainte de deformaţie, după deformaţie rămâne tot segment de dreaptă, de aceeaşi lungime dar nu şi normal la suprafaţa mediană a plăcii deformate. Această teorie a fost emisă de Reissner (1945) şi Mindlin (1951). Teoria Mindlin-Reissner generalizează teoria lui Kirchhoff. Ea poate fi aplicată evident plăcilor având orice grosime. Problemele elementare de încovoiere a plăcilor plane descrise de ecuaţiile Laplace-Sophie Germaine au fost rezolvate cu succes prin metodele Navier şi M. Levy. În rezolvarea problemelor mai complicate (d. p. v. al condiţiilor la limită şi încărcărilor) privind plăcile plane şi învelitorile, contribuţii de seamă au avut A. Nadai, Galerkin ş.a. iar pentru plăci plane în stare plană se remarcă lucrările lui Kolosov şi Mushelişvili, care au introdus şi utilizat funcţiile de variabilă complexă la rezolvarea acestora.

1.1 ECUAŢIILE DIFERENŢIALE ALE PLĂCILOR PLANE SUBŢIRI

1.1.1 Ipoteze. Deplasări. Deformaţii specifice

În teoria tehnică a plăcilor utilizată în calcule inginereşti, în afara ipotezelor clasice folosite în mecanica solidului deformabil se introduc ipoteze suplimentare specifice plăcilor. Rămân valabile ipotezele continuităţii şi omogenităţii materialului. De asemenea, deşi în plăci reale aparţinând structurilor sudate există tensiuni şi deformaţii remanente (iniţiale), în teoria tehnică se face abstracţie de ele. De asemenea se are în vedere comportarea în domeniul deformaţiilor liniar elastice, acceptându-se valabilă legea lui Hooke (pentru materiale izotrope/ortotrope).

Se prezintă ipotezele suplimentare specifice teoriei tehnice a plăcilor plane subţiri şi consecinţele care rezultă din acestea.

1) Ipoteza normalei drepte sau ipoteza lui Kirchhoff (uneori se întâlneşte ca ipoteza Love-Kirchhoff), conform căreia un segment de dreaptă normal pe planul median înainte de deformaţie rămâne segment de dreaptă şi după deformaţie, normal la suprafaţa mediană a plăcii deformate şi de aceeaşi lungime. Ipoteza lui Kirchhoff este analoagă ipotezei secţiunilor plane a lui Bernoulli din calculul barelor. Una din cele mai importante consecinţe ale acestei ipoteze este satisfacerea automată a continuităţii în tot volumul plăcii, cu condiţia să fie satisfăcută continuitatea în suprafaţa mediană a ei. O altă consecinţă este obţinerea unor relaţii simple pentru descrierea geometriei deformaţiilor, prin ignorarea deformaţiile unghiulare transversale.