Interpolare cu Funcții Spline

Curbele pot fi reprezentate în plan prin:

_________________ ________________

• ecuaţii explicite: De exemplu y=√(r2-x2) şi y=-√(r2-x2)

reprezintă un cerc cu centrul în origine, de rază r

• ecuaţii implicite: x2+y2=r2

• ecuaţii parametrice: x(t)=r cos t şi y(t)=r sin t

Reprezentarea prin ecuaţii explicite, de forma y=f(x) şi nici ecuaţiile implicite nu

asigură reprezentarea curbelor având mai multe valori într-un punct (nu sunt funcţii).

f(p)=f(x,y)=0 nu tratează corect tangentele verticale la curbă.

Forma parametrică:

• este mult mai flexibilă

• permite reprezentarea de curbe care nu sunt funcţii (au mai multe valori într-un

punct)

• este independentă de coordonate

Specificarea unei curbe se face prin:

• puncte de control – mulţime de puncte care influienţează forma curbei

• noduri – puncte de control care se află pe curbă

Un spline este o curbă parametrică definită prin puncte de control.

• Un spline este o funcţie S:[a, b)→ R, definită local pe mai multe intervale

prin Pi:[ti, ti+1) → R, cu a=t0 < t1 <...< tk-1 =b

S(t)=P0(t), t0 ≤ t < t1

S(t)=P1(t), t1 ≤ t < t2

S(t)=Pk-2(t), tk-2 ≤ t < tk-1

• Funcţiile pi(t) sunt de regulă polinoame de grad 3

• Nodurile ti se aleg deobicei echidistante, definind un spline uniform

• Dacă în vecinătatea nodurilor ti, S∈Cri, atunci spline-ul are netezimea Cri.

(adică spline-urile Pi-1 şi Pi au aceleaşi derivate de ordin 0 până la ri)

• Splineul de grad 0 este splineul treaptă, cel de ordin 1 este spline liniar şi

coincide cu poligonul punctelor de control.

• Un spline utilizat – spline-ul cubic natural are gradul 3 şi continuitatea C2. În

plus, la capete: S”(a)= S”(b) = 0.

• Splineurile de grad n utilizate în analiza numerică au continuitatea S(t)∈Cn-1

[a,b]

• Splineurile utilizate în Adobe şi PostScript au continuitatea S(t) ∈ C1[a,b]

• Pentru asigurarea continuităţii C2, funcţiile spline trebuie să aibă cel puţin gradul 3

• Funcţiile spline pot fi:

• funcţii spline de interpolare – care trec prin toate punctele de control

• funcţii spline de aproximare – care nu trec prin toate punctele de control

Funcţii spline de interpolare în clasă C1.

Vom alege polinoame de interpolare de grad mic, valabile pe subintervale

x0 < x1 < … < xn

f(x0),f(x1),…,f(xn)

şi vom considera funcţii de interpolare liniare, locale pe subintervalele

[x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn]

pi(x)=aix+bi, i=0:n-1

în care cei 2n parametri se determină din condiţiile de interpolare:

pi(xi)=f(xi), i=0:n-1

pn-1(xn)=f(xn)

şi a condiţiilor de racordare (continuitate în punctele interioare):

pi(xi+1)=pi+1(xi+1), i=0:n-2

Interpolarea liniară prezintă dezavantajul discontinuităţii derivatelor în punctele

interioare.

Prin alegerea unor funcţii de interpolare de gradul 3 se poate realiza o interpolare

Hermite, care presupune şi fixarea valorii derivatelor pe suportul interpolării:

f’(x0),f’(x1),…,f’(xn)